Calcule A B e B A, em que A e B são as matrizes seguintes:
(i) A=[ccc1 & -1 & 1 -3 & 2 & -1 -2 & 1 & 0], B=[lll1 & 2 & 3 2 & 4 & 6 1 & 2 & 3]

Passo 1

O enunciado dá as matrizes
A = 1 & -1 & 1 -3 & 2 & -1 -2 & 1 & 0 , B = 1 & 2 & 3 2 & 4 & 6 1 & 2 & 3
e pede para calcular AB e BA. O conteúdo envolvido é multiplicação de matrizes, em que cada elemento do produto é obtido pelo produto escalar de uma linha da primeira matriz com uma coluna da segunda.

Passo 2

Lembrando a definição, se C=AB então
cij=sumk=1^3aik,bkj
Faremos isso primeiro para AB.

Passo 3

Vamos calcular as entradas de AB:
Linha 1 de A: (1,,-1,,1)
– coluna 1 de B: (1,2,1)
(AB)11=1cdot1+(-1)cdot2+1cdot1=1-2+1=0
– coluna 2 de B: (2,4,2)
(AB)12=1cdot2+(-1)cdot4+1cdot2=2-4+2=0
– coluna 3 de B: (3,6,3)
(AB)13=1cdot3+(-1)cdot6+1cdot3=3-6+3=0
Como as demais linhas (i=2,3) de A também dão soma zero contra cada coluna de B, concluímos
AB = 0&0&0 0&0&0 0&0&0

Passo 4

Agora calculamos BA. A fórmula é a mesma, trocando as posições.
Linha 1 de B: (1,2,3)
– coluna 1 de A: (1,-3,-2)
(BA)11=1cdot1+2cdot(-3)+3cdot(-2)=1-6-6=-11
– coluna 2 de A: (-1,2,1)
(BA)12=1cdot(-1)+2cdot2+3cdot1=-1+4+3=6
– coluna 3 de A: (1,-1,0)
(BA)13=1cdot1+2cdot(-1)+3cdot0=1-2+0=-1
Linha 2 de B: (2,4,6)
(BA)21=2cdot1+4cdot(-3)+6cdot(-2)=2-12-12=-22,
(BA)22=2cdot(-1)+4cdot2+6cdot1=-2+8+6=12,
(BA)23=2cdot1+4cdot(-1)+6cdot0=2-4+0=-2
Linha 3 de B é igual à linha 1, logo
(BA)3j=(BA)1j(j=1,2,3)
Portanto
BA = -11 & 6 & -1 -22 & 12 & -2 -11 & 6 & -1

Resposta

AB= 0&0&0 0&0&0 0&0&0 ,
BA= -11 & 6 & -1 -22 & 12 & -2 -11 & 6 & -1 .

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