Resolva cada um dos sistemas por eliminação de Gauss.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando a eliminação de Gauss, que é uma técnica para resolver sistemas lineares transformando as equações para facilitar a obtenção das incógnitas. Nosso sistema é:
x + y + z = 0 2y - z = 0
Vamos precisar manipular essas equações para eliminar uma das variáveis e encontrar as relações entre x, y e z.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de forma organizada:
x + y + z = 0 (Equação 1) 0x + 2y - z = 0 (Equação 2) çãçã
Repare que na segunda equação o coeficiente de x é zero, o que já facilita um pouco a eliminação.
Passo 3
Agora, vamos olhar para a Equação 2 para tentar isolar uma variável. A Equação 2 é:
2y - z = 0
Podemos resolver essa equação para z em função de y.
Passo 4
Resolvendo a Equação 2 para z:
2y - z = 0 Rightarrow z = 2y
Agora sabemos que z é o dobro de y. Vamos usar essa relação na Equação 1 para encontrar x.
Passo 5
Substituindo z = 2y na Equação 1:
x + y + (2y) = 0 x + 3y = 0
Agora, podemos resolver para x em função de y:
x = -3y
Passo 6
Até aqui, temos duas relações:
x = -3y z = 2y
Como não temos uma terceira equação, y pode ser qualquer número real. Vamos chamar y de parâmetro t.
Resposta
As soluções do sistema são todas as triplas (x, y, z) tais que: