Sejam
. Considere a equação matricial
, em que a incógnita
é uma matriz quadrada de tamanho
. Mostre que se essa equação possuir mais do que uma solução, então ela terá infinitas soluções.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação matricial
, em que
e
são matrizes de tamanho
e a incógnita
é uma matriz quadrada
. O conteúdo usado será o conceito de espaço nulo (kernel) de um operador linear e a descrição do conjunto de soluções de uma equação linear como um espaço afim.
Passo 2
Suponha que existam duas soluções distintas, digamos
e
, tais que
Então, seja a matriz diferença
Passo 3
Aplicando
a
, temos
Ou seja,
pertence ao kernel do operador
, e
pois
.
Passo 4
Para qualquer escalar
, considere
Então
logo cada
é solução de
. Como
varia em
, obtemos infinitas soluções.
Resposta
A equação
tem infinitas soluções sempre que admite duas soluções distintas.