Sejam A, B in Mm times n(R). Considere a equação matricial A X=B, em que a incógnita X é uma matriz quadrada de tamanho n times n. Mostre que se essa equação possuir mais do que uma solução, então ela terá infinitas soluções.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação matricial A X = B, em que A e B são matrizes de tamanho mtimes n e a incógnita X é uma matriz quadrada ntimes n. O conteúdo usado será o conceito de espaço nulo (kernel) de um operador linear e a descrição do conjunto de soluções de uma equação linear como um espaço afim.

Passo 2

Suponha que existam duas soluções distintas, digamos X1 e X2, tais que
A X1 = B e A X2 = B
Então, seja a matriz diferença
D = X2 - X1

Passo 3

Aplicando A a D, temos
A D = A(X2 - X1) = A X2 - A X1 = B - B = 0
Ou seja, D pertence ao kernel do operador Lcolon Xmapsto A X, e Dneq 0 pois X2neq X1.

Passo 4

Para qualquer escalar tinR, considere
Xt = X1 + t,D
Então
A Xt = A X1 + t,A D = B + tcdot 0 = B,
logo cada Xt é solução de A X = B. Como t varia em R, obtemos infinitas soluções.

Resposta

A equação A X = B tem infinitas soluções sempre que admite duas soluções distintas.

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