Calcule:
sec 19 pi12

Passo 1

O enunciado pede para calcular secl(tfrac19pi12r). Vamos usar as definições de função trigonométrica e propriedades de soma de ângulos.

Passo 2

Lembrando que sec x = tfrac1cos x, basta encontrar cosl(tfrac19pi12r) e depois inverter.
Reduzimos o ângulo usando que tfrac19pi12 = pi + tfrac7pi12. Como cos(pi + theta) = -costheta, temos
cos!l(tfrac19pi12r) = cos!l(pi + tfrac7pi12r) = -cos!l(tfrac7pi12r)

Passo 3

Para cos!l(tfrac7pi12r) usamos a soma tfrac7pi12 = tfracpi3 + tfracpi12 e a fórmula
cos(a+b) = cos acos b - sin asin b
Assim,
cos!l(tfrac7pi12r) = costfracpi3costfracpi12 - sintfracpi3sintfracpi12 = tfrac12costfracpi12 - tfracraiz32sintfracpi12

Passo 4

Sabendo que
costfracpi12 = cos15^circ = raiz6+raiz24, sintfracpi12 = sin15^circ = raiz6-raiz24,
temos
cos!l(tfrac7pi12r) = 12cdotraiz6+raiz24 - raiz32cdotraiz6-raiz24 = raiz6+raiz28 - raiz18-raiz68 = raiz6+raiz28 - 3raiz2-raiz68 = 2raiz6-2raiz28 = raiz6-raiz24
Logo
cos!l(tfrac19pi12r) = -raiz6-raiz24 = raiz2-raiz64

Passo 5

Finalmente,
sec!l(tfrac19pi12r) = 1cosl(tfrac19pi12r) = 1(raiz2-raiz6)/4 = 4raiz2-raiz6
Racionalizando:
4raiz2-raiz6cdotraiz2+raiz6raiz2+raiz6 = 4(raiz2+raiz6)2-6 = -(raiz2+raiz6)

Resposta

sec!l(tfrac19pi12r) = -l(raiz2+raiz6r)

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