Calcule d Fd t e d^2 Fd t^2 e em seguida determine a equação da reta tangente à trajetória das funções dadas nos pontos solicitados:
F(t)=(1t, 1t, t^2) e F(2);

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada primeira dvec Fdt e a derivada segunda d^2vec Fdt^2 de
vec F(t)=l(tfrac1t,tfrac1t,t^2r),
que é um caso de função vetorial cujas componentes derivamos separadamente. Em seguida, precisamos determinar a reta tangente à curva em t=2, usando o ponto vec F(2) e a direção dada por vec F'(2).

Passo 2

Para achar a derivada primeira, aplicamos a regra de potência e de derivada de 1/t=t^-1 em cada componente:
dvec Fdt =(ddtt^-1,;ddtt^-1,;ddtt^2) =(-t^-2,,-t^-2,,2t) =(-1t^2,,-1t^2,,2t)

Passo 3

Para obter a derivada segunda, derivamos novamente componente a componente:
d^2vec Fdt^2 =(ddtl(-t^-2r),;ddtl(-t^-2r),;ddt(2t)) =(2t^-3,,2t^-3,,2) =(2t^3,2t^3,2)

Passo 4

Agora avaliamos em t=2:
vec F(2)=l(tfrac12,tfrac12,4r), vec F'(2)=(-tfrac12^2,-tfrac12^2,2cdot2) =(-tfrac14,-tfrac14,4)

Passo 5

A reta tangente à curva em t=2 passa por vec F(2) e tem direção vec F'(2). Num parâmetro u ela fica
r(u) =vec F(2)+u,vec F'(2) =l(tfrac12,tfrac12,4r) +ul(-tfrac14,-tfrac14,4r)

Resposta

vec F'(t)=l(-tfrac1t^2,-tfrac1t^2,2tr)
vec F''(t)=l(tfrac2t^3,tfrac2t^3,2r)
Reta tangente em t=2:
r(u)=l(tfrac12,tfrac12,4r)+ul(-tfrac14,-tfrac14,4r).

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