Esboce a região de integração e mude a ordem de integração.
Passo 1
Beleza, o exercício pede pra gente esboçar a região de integração e depois trocar a ordem em
Isso é conteúdo de cálculo de integrais duplas e mudança de ordem de integração. Pra resolver, a gente vai precisar:
- Entender quais valores de
entram na conta (o “domínio” ou região). - Desenhar esse domínio no plano
. - Achar, para cada valor de
, quais são os valores correspondentes de .
Passo 2
Vamos olhar a interpretação da integral original:
Isso significa que o ponto
está num triângulo no primeiro quadrante, com vértices em
,
e
.
– Teoria rápida: na integral dupla, escrever é somar
sobre todos os
dentro desse triângulo.
– Teoria rápida: na integral dupla, escrever
Passo 3
Agora queremos inverter a ordem: primeiro
, depois
.
- Olha a região:
vai desde o mínimo (que é 0) até o máximo que atinge na reta , ou seja, . - Para um
fixo, precisa variar desde a reta (pra garantir ) até .
Logo os novos limites são