Esboce a região de integração e mude a ordem de integração.
integral0^1 integral0^x f(x, y) d y d x

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra gente esboçar a região de integração e depois trocar a ordem em
integral0^1!integral0^x f(x,y),dy,dx
Isso é conteúdo de cálculo de integrais duplas e mudança de ordem de integração. Pra resolver, a gente vai precisar:
  1. Entender quais valores de (x,y) entram na conta (o “domínio” ou região).
  2. Desenhar esse domínio no plano xy.
  3. Achar, para cada valor de y, quais são os valores correspondentes de x.

Passo 2

Vamos olhar a interpretação da integral original:
0 <= x <= 1, 0 <= y <= x
Isso significa que o ponto (x,y) está num triângulo no primeiro quadrante, com vértices em (0,0), (1,0) e (1,1).
– Teoria rápida: na integral dupla, escrever integral0^1l[integral0^x(cdots),dyr]dx é somar f(x,y) sobre todos os (x,y) dentro desse triângulo.

Passo 3

Agora queremos inverter a ordem: primeiro y, depois x.
  1. Olha a região: y vai desde o mínimo (que é 0) até o máximo que atinge na reta y=x, ou seja, y=1.
  2. Para um y fixo, x precisa variar desde a reta x=y (pra garantir y<= x) até x=1.
    Logo os novos limites são
0 <= y <= 1, y <= x <= 1

Resposta

boxedintegral0^1integral0^x f(x,y),dy,dx =integral0^1integraly^1 f(x,y),dx,dy

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