Q3. Encontre a solução do PVI
l x^prime prime(t)+2 x^prime(t)+x(t)=u2(t) e^t-2+de<a(t-3), x(0)=0, x^prime(0)=0

Passo 1

O enunciado pede a solução do PVI
x''(t)+2x'(t)+x(t)=u2(t)e^t-2+de<a(t-3), x(0)=0,;x'(0)=0,
onde u2(t)=u(t-2) é o degrau unitário deslocado em 2. Vamos usar transformada de Laplace para resolver, aproveitando
Lx''=s^2X(s)-sx(0)-x'(0),
Lu(t-a)f(t-a)=e^-asF(s) e
Lde<a(t-a)=e^-as.

Passo 2

Tomando Laplace de ambos os lados e usando as condições iniciais nulas, obtemos
(s^2+2s+1)X(s) =Lu(t-2)e^t-2+Lde<a(t-3)
Como
Lu(t-2)e^t-2 =e^-2sintegral0^inftye^taue^-staudtau =e^-2ss-1,
e Lde<a(t-3)=e^-3s, segue
X(s)=e^-2s(s-1)(s+1)^2+e^-3s(s+1)^2

Passo 3

Para inverter a primeira parcela, fazemos frações parciais:
1(s-1)(s+1)^2 =As-1+Bs+1+C(s+1)^2
Multiplicando ambos os lados por (s-1)(s+1)^2 e igualando coeficientes, achamos
A=tfrac14, B=-tfrac14, C=-tfrac12

Passo 4

Logo
1(s-1)(s+1)^2 =141s-1-141s+1-121(s+1)^2
Invertendo cada termo:
L^-1tfrac1s-1=e^t,
L^-1tfrac1s+1=e^-t,
L^-1tfrac1(s+1)^2=t,e^-t.
Assim a função base é
f(t)=14e^t-14e^-t-12,t,e^-t

Passo 5

Usando deslocamento de tempo para a primeira parcela e para a segunda, obtemos

Passo 6

Escrevendo explicitamente, para t<2 temos x(t)=0. Para 2<= t<3:
x(t) =14e^,t-2-14e^-(t-2)-12(t-2)e^-(t-2),
e para t>=3 somamos também
(t-3)e^-(t-3).

Resposta

x(t) =u(t-2)l[tfrac14e^,t-2-tfrac14e^-(t-2)-tfrac12(t-2)e^-(t-2)r] +u(t-3),(t-3)e^-(t-3)

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