Esboce a região de integração e mude a ordem de integração.
integral0^pi / 2 integral0^sen x f(x, y) d y d x

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra gente desenhar a região do plano onde
0 <= x <= tfracpi2 e 0 <= y <= sin x, e depois trocar a ordem de integração.
Conteúdo: integrais duplas e troca de ordem de integração.
O que precisamos:
  1. Entender a região R=(x,y):0<= x<=pi/2,;0<= y<=sin x.
  2. Saber que, em [0,pi/2], sin x é crescente e invertível (inversa arcsin).
  3. Reescrever os limites pra integral duplaR f(x,y),dx,dy.

Passo 2

Vamos esboçar R:
  • No eixo x, de 0 até pi/2.
  • A curva de cima é y=sin x.
  • A curva de baixo é y=0.
    Então a região é tudo que fica “embaixo” de y=sin x, entre x=0 e x=pi/2.

Passo 3

Trocar a ordem significa integrar primeiro em x e depois em y.
  1. Qual o intervalo de y? O menor y é 0 (quando x=0) e o maior é sin(pi/2)=1.
    Logo 0<= y<=1.
  2. Para um dado y nesse intervalo, quais são os x permitidos?
    Precisamos de 0<= x<=pi/2 e y<=sin x.
    Como sin x é crescente em [0,pi/2], a condição sin x>= y vira
    x>= arcsin(y).
    E ainda vale x<=pi/2.
    Então, para cada y, x varia de arcsin(y) até pi/2.

Resposta

A integral com a ordem trocada fica
integraly=0^1;integralx=arcsin(y)^pi/2 f(x,y),dx,dy

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