Esboce a região de integração e mude a ordem de integração.
Passo 1
Beleza, o exercício pede pra gente desenhar a região do plano onde
e
, e depois trocar a ordem de integração.
Conteúdo: integrais duplas e troca de ordem de integração.
O que precisamos:
Conteúdo: integrais duplas e troca de ordem de integração.
O que precisamos:
- Entender a região
. - Saber que, em
, é crescente e invertível (inversa ). - Reescrever os limites pra
.
Passo 2
Vamos esboçar
:
- No eixo
, de até . - A curva de cima é
. - A curva de baixo é
.
Então a região é tudo que fica “embaixo” de, entre e .
Passo 3
Trocar a ordem significa integrar primeiro em
e depois em
.
- Qual o intervalo de
? O menor é 0 (quando ) e o maior é .
Logo. - Para um dado
nesse intervalo, quais são os permitidos?
Precisamos dee .
Comoé crescente em , a condição vira
.
E ainda vale.
Então, para cada, varia de até .
Resposta
A integral com a ordem trocada fica