Dado um vetor \mathbf{x} \in \mathbb{R}^{n+1}\), a matriz \((n+1) \times(n+1)\), \(V\), definida por \[v_{i j}= \begin{cases}1 & \text { se } j=1 \\\ x_{i}^{j-1} & \text { para } j=2, \ldots, n+1\end{cases}
é chamada de matriz de Vandermonde.
(a) Mostre que se
V \mathbf{c}=\mathbf{y}
e
p(x)=c_{1}+c_{2} x+\cdots+c_{n+1} x^{n}
então
p\left(x_{i}\right)=y_{i}, \quad i=1,2, \ldots, n+1
(b) Suponha que x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n+1}\] são todos distintos. Mostre que se c é uma solução de \(V \mathbf{x}=\mathbf{0}, então os coeficientes c_{1}, c_{2}, \ldots, c_{n} devem ser todos iguais a zero e, portanto, V deve ser não singular.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou listar tudo com calma para ficarmos bem alinhados):
  • Há um vetor \mathbf{x}\in\mathbb{R}^{n+1}\) cujas componentes são \(x_1,x_2,\dots,x_{n+1}\). - A matriz \(V\) é \((n+1)\times(n+1)\) com entradas \[v_{ij}=\begin{cases} 1 & \text{se } j=1,\\[4pt] x_i^{\,j-1} & \text{se } j=2,\dots,n+1. \end{cases}
  • Considera-se um vetor \mathbf{c}=(c_1,c_2,\dots,c_{n+1})^{\!T}\] e um vetor \(\mathbf{y}=(y_1,y_2,\dots,y_{n+1})^{\!T}.
  • Define-se o polinômio
p(x)=c_1+c_2 x+\cdots+c_{n+1}x^{n}.
As perguntas do enunciado são:
(a) Mostrar que, se V\mathbf{c}=\mathbf{y}, então p(x_i)=y_i para i=1,2,\dots,n+1.
(b) Supondo que x_1,\dots,x_{n+1} são todos distintos, mostrar que se \mathbf{c} satisfaz V\mathbf{c}=\mathbf{0} então c_1=\cdots=c_{n+1}=0; portanto V é não singular.]

Passo 2

Entender o que significa multiplicar uma matriz por um vetor, componente a componente. Se V\mathbf{c}=\mathbf{y} então, pela definição habitual de produto matriz-vetor, para cada i=1,\dots,n+1 vale
(V\mathbf{c})_i=\sum_{j=1}^{n+1} v_{ij}\,c_j = y_i.
Isto é só a definição: a entrada i-ésima do produto é a soma, ao longo de j, das entradas v_{ij} multiplicadas por c_j.

Passo 3

Agora substituímos a forma específica de v_{ij} que o enunciado deu. Para um índice fixo i,
  • quando j=1, v_{i1}=1;
  • quando j=2, v_{i2}=x_i^{\,1}=x_i;
  • quando j=3, v_{i3}=x_i^{\,2};
  • \dots
  • quando j=n+1, v_{i,n+1}=x_i^{\,n}.
Logo a soma fica
\sum_{j=1}^{n+1} v_{ij}\,c_j = c_1 + c_2 x_i + c_3 x_i^{2} + \cdots + c_{n+1} x_i^{n}.
Mas essa soma é exatamente a definição do polinômio p avaliado em x_i. Ou seja,
(V\mathbf{c})_i = p(x_i).

Passo 4

Concluímos então a parte (a): se V\mathbf{c}=\mathbf{y} então, para cada i,
p(x_i)=(V\mathbf{c})_i = y_i,
como pedido. (Isto é uma correspondência direta entre o produto matriz-vetor e a avaliação do polinômio nas abscissas x_i.)

Passo 5

Para a parte (b), suponha agora que x_1,\dots,x_{n+1} são todos distintos e que \mathbf{c} satisfaz
V\mathbf{c}=\mathbf{0}.
Pelo raciocínio do passo anterior, isso implica que, para todo i=1,\dots,n+1,
p(x_i)=0.
Isto é, o polinômio p (de grau no máximo n) tem as n+1 raízes distintas x_1,\dots,x_{n+1}.

Passo 6

Agora precisamos usar um fato básico sobre polinômios (vou explicar por que é verdadeiro, porque você pediu que eu não pulasse etapas): um polinômio não nulo de grau \le n não pode ter mais de n raízes distintas. Uma maneira simples de ver isso é por indução usando a divisão por (x-a):
  • Se p é o polinômio zero (todos coeficientes zero), então tem “infinitas” raízes como função, mas nesse caso já sabemos que todos os c_j são zero — isso é o que queremos provar.
  • Se p é não nulo e tem grau m\le n, e se a é uma raiz de p (ou seja p(a)=0), então existe um polinômio q com \deg(q)=m-1 tal que p(x)=(x-a)q(x). Assim as raízes distintas de p são a mais as raízes de q; portanto p tem no máximo 1+(m-1)=m raízes. Repetindo o argumento, um polinômio de grau m não pode ter mais que m raízes distintas.
Aplicando isso aqui: p tem grau \le n e, segundo a hipótese, tem n+1 raízes distintas x_1,\dots,x_{n+1}. Isso é impossível, a menos que p seja o polinômio nulo (ou seja, todos os coeficientes sejam zero). Portanto p é identicamente zero.

Passo 7

Se p é o polinômio identicamente zero, isso significa que todos os coeficientes c_1,c_2,\dots,c_{n+1} são zero. Em notação vetorial, \mathbf{c}=\mathbf{0}. Assim a única solução de V\mathbf{c}=\mathbf{0} é a solução trivial.

Passo 8

Concluir o que foi pedido: como o núcleo de V contém só o vetor zero, a matriz V é não singular (injetiva como transformação linear), i.e., \det(V)\neq 0.
Breve observação (opcional e só para contexto): outra maneira comum de provar a não singularidade é usar a fórmula explícita do determinante de Vandermonde,
\det(V)=\prod_{1\le i<j\le n+1}(x_j-x_i),
que, quando os x_i são distintos, é diferente de zero. Eu escolhi o argumento via raízes de polinômios porque é elementar e evita calcular determinantes.

Resposta

(a) \;p(x_i)=y_i para i=1,2,\ldots,n+1.
(b) \;c_1=c_2=\cdots=c_{n+1}=0, portanto V é não singular.

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