Dado um vetor
é chamada de matriz de Vandermonde.
(a) Mostre que se
e
então
(b) Suponha que
, então os coeficientes
devem ser todos iguais a zero e, portanto,
deve ser não singular.
(a) Mostre que se
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (vou listar tudo com calma para ficarmos bem alinhados):
- Há um vetor
- Considera-se um vetor .
- Define-se o polinômio
As perguntas do enunciado são:
(a) Mostrar que, se , então
para
.
(b) Supondo que são todos distintos, mostrar que se
satisfaz
então
; portanto
é não singular.]
(a) Mostrar que, se
(b) Supondo que
Passo 2
Entender o que significa multiplicar uma matriz por um vetor, componente a componente. Se
então, pela definição habitual de produto matriz-vetor, para cada
vale
Isto é só a definição: a entrada
-ésima do produto é a soma, ao longo de
, das entradas
multiplicadas por
.
Passo 3
Agora substituímos a forma específica de
que o enunciado deu. Para um índice fixo
,
- quando
, ; - quando
, ; - quando
, ; -
- quando
, .
Logo a soma fica
Mas essa soma é exatamente a definição do polinômio
avaliado em
. Ou seja,
Passo 4
Concluímos então a parte (a): se
então, para cada
,
como pedido. (Isto é uma correspondência direta entre o produto matriz-vetor e a avaliação do polinômio nas abscissas
.)
Passo 5
Para a parte (b), suponha agora que
são todos distintos e que
satisfaz
Pelo raciocínio do passo anterior, isso implica que, para todo
,
Isto é, o polinômio
(de grau no máximo
) tem as
raízes distintas
.
Passo 6
Agora precisamos usar um fato básico sobre polinômios (vou explicar por que é verdadeiro, porque você pediu que eu não pulasse etapas): um polinômio não nulo de grau
não pode ter mais de
raízes distintas. Uma maneira simples de ver isso é por indução usando a divisão por
:
- Se
é o polinômio zero (todos coeficientes zero), então tem “infinitas” raízes como função, mas nesse caso já sabemos que todos os são zero — isso é o que queremos provar. - Se
é não nulo e tem grau , e se é uma raiz de (ou seja ), então existe um polinômio com tal que . Assim as raízes distintas de são mais as raízes de ; portanto tem no máximo raízes. Repetindo o argumento, um polinômio de grau não pode ter mais que raízes distintas.
Aplicando isso aqui:
tem grau
e, segundo a hipótese, tem
raízes distintas
. Isso é impossível, a menos que
seja o polinômio nulo (ou seja, todos os coeficientes sejam zero). Portanto
é identicamente zero.
Passo 7
Se
é o polinômio identicamente zero, isso significa que todos os coeficientes
são zero. Em notação vetorial,
. Assim a única solução de
é a solução trivial.
Passo 8
Concluir o que foi pedido: como o núcleo de
contém só o vetor zero, a matriz
é não singular (injetiva como transformação linear), i.e.,
.
Breve observação (opcional e só para contexto): outra maneira comum de provar a não singularidade é usar a fórmula explícita do determinante de Vandermonde,
que, quando os
são distintos, é diferente de zero. Eu escolhi o argumento via raízes de polinômios porque é elementar e evita calcular determinantes.
Resposta
(a)
para
(b) , portanto
é não singular.
(b)