(4,0) Calcule as seguinte integrais:
\int \frac{x^{2}+1}{\sqrt{1-x^{2}}} d x.

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
\int \frac{x^{2}+1}{\sqrt{1-x^{2}}}\,dx.
O conteúdo aqui é técnica de decomposição de integrandoseparando em termos que conhecemos: uma parte que gera \arcsin(x) e outra que gera a integral de \sqrt{1-x^2}. Vamos usar a identidade algébrica para quebrar (x^2+1) e depois aplicar as fórmulas padrões
\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,dx=\arcsin(x), \quad \int \sqrt{1-x^2}\,dx=\frac{x}{2}\sqrt{1-x^2}+\frac{1}{2}\arcsin(x).

Passo 2

Repare que
x^2+1 = -(1-x^2) + 2.
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\frac{x^2+1}{\sqrt{1-x^2}} = -\frac{1-x^2}{\sqrt{1-x^2}} \;+\; 2\,\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} = -\sqrt{1-x^2} + 2\,\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}.
Portanto a integral se separa:
\int \frac{x^2+1}{\sqrt{1-x^2}}\,dx = -\int \sqrt{1-x^2}\,dx + 2\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,dx.

Passo 3

Usando a fórmula conhecida para a integral de \sqrt{1-x^2}, com a=1, temos
\int \sqrt{1-x^2}\,dx = \frac{x}{2}\sqrt{1-x^2} + \frac{1}{2}\arcsin(x).

Passo 4

E a integral de 1/\sqrt{1-x^2} é simplesmente
\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,dx = \arcsin(x).

Passo 5

Substituindo em
-\int \sqrt{1-x^2}\,dx + 2\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,dx,
obtemos
-\Bigl(\frac{x}{2}\sqrt{1-x^2} + \frac{1}{2}\arcsin(x)\Bigr) + 2\,\arcsin(x) = -\frac{x}{2}\sqrt{1-x^2} - \frac{1}{2}\arcsin(x) + 2\,\arcsin(x).
Agrupando os termos de \arcsin(x),
-\frac{x}{2}\sqrt{1-x^2} + \frac{3}{2}\arcsin(x) + C.

Resposta

-\frac{x}{2}\sqrt{1-x^2} \;+\;\frac{3}{2}\arcsin(x)\;+\;C

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