(4,0) Calcule as seguinte integrais:
\int x^{2025} \cdot \ln \left(x^{2}\right) d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int x^{2025}\,\ln\bigl(x^{2}\bigr)\,dx.
O conteúdo principal aqui é integração por partes, junto com a regra do poder para integrais e a derivada do logaritmo.

Passo 2

Na integração por partes, escolhemos
u = \ln\bigl(x^{2}\bigr), \quad dv = x^{2025}\,dx.
Então,
du = \frac{d}{dx}\bigl[\ln(x^{2})\bigr]\,dx = \frac{2}{x}\,dx, \quad v = \int x^{2025}\,dx = \frac{x^{2026}}{2026}.

Passo 3

Aplicando a fórmula
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du,
temos
\int x^{2025}\ln(x^{2})\,dx = \frac{x^{2026}}{2026}\,\ln(x^{2}) - \int \frac{x^{2026}}{2026}\,\frac{2}{x}\,dx.

Passo 4

Dentro da integral restante simplificamos:
\frac{x^{2026}}{2026}\,\frac{2}{x} = \frac{2\,x^{2025}}{2026},
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\int \frac{x^{2026}}{2026}\,\frac{2}{x}\,dx = \frac{2}{2026}\,\int x^{2025}\,dx = \frac{2}{2026}\,\frac{x^{2026}}{2026} = \frac{x^{2026}}{2026\cdot1013}.

Passo 5

Substituindo de volta,
\int x^{2025}\ln(x^{2})\,dx = \frac{x^{2026}}{2026}\,\ln(x^{2}) - \frac{x^{2026}}{2026\cdot1013} + C = \frac{x^{2026}}{2026}\Bigl(\ln(x^{2}) - \tfrac{1}{1013}\Bigr) + C.

Resposta

\frac{x^{2026}}{2026}\Bigl(\ln(x^{2}) - \tfrac{1}{1013}\Bigr) + C

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