(4,0) Calcule as seguinte integrais:
\int \frac{x+2}{x^{2}-5 x+4} d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{x+2}{x^{2}-5x+4}\,dx.
O tema é integração de funções racionais, e vamos usar decomposição em frações parciais.

Passo 2

Primeiro fatoramos o denominador:
x^{2}-5x+4 = (x-1)(x-4).
Em seguida escrevemos a decomposição
\frac{x+2}{(x-1)(x-4)} \;=\; \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x-4}.

Passo 3

Multiplicando por (x-1)(x-4)\) obtemos \[x+2 = A(x-4) + B(x-1) = (A+B)\,x - 4A - B.
Comparando coeficientes resulta o sistema
\begin{cases} A + B = 1,\\\\ -4A - B = 2. \end{cases}
Da segunda equação (B = -4A -2]. Substituindo na primeira:
A + (-4A -2) = 1 \;\Longrightarrow\; -3A = 3 \;\Longrightarrow\; A = -1,
B = -4(-1) - 2 = 4 - 2 = 2.

Passo 4

Substituindo A e B na decomposição, obtemos
\frac{x+2}{(x-1)(x-4)} = -\frac{1}{x-1} + \frac{2}{x-4}.
Assim a integral vira
\int \frac{x+2}{x^{2}-5x+4}\,dx = \int \Bigl(-\frac{1}{x-1} + \frac{2}{x-4}\Bigr)dx.

Passo 5

Integramos termo a termo:
\int -\frac{1}{x-1}\,dx = -\ln\bigl|x-1\bigr|,
\int \frac{2}{x-4}\,dx = 2\ln\bigl|x-4\bigr|.
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\int \frac{x+2}{x^{2}-5x+4}\,dx = -\ln\bigl|x-1\bigr| + 2\ln\bigl|x-4\bigr| + C.

Resposta

-\ln\bigl|x-1\bigr| + 2\ln\bigl|x-4\bigr| + C.

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