(4,0) Calcule as seguinte integrais:
\int x^{3}\left(x^{2}+1\right)^{4} d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int x^{3}\bigl(x^{2}+1\bigr)^{4}\,dx.
O conteúdo principal envolvido é integração por substituição, pois dentro da potência (x^{2}+1)^{4} aparece x^{2}+1.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = x^{2} + 1,
de onde, derivando em relação a x, vem
du = 2x\,dx \quad\Longrightarrow\quad x\,dx = \frac{du}{2}.

Passo 3

Reescrevemos x^{3}\,dx como x^{2}\cdot x\,dx. Como x^{2}=u-1 e x\,dx=du/2, a integral vira
\int x^{3}\bigl(x^{2}+1\bigr)^{4}\,dx =\int (u-1)\,u^{4}\,\frac{du}{2} =\frac{1}{2}\int\bigl(u^{5}-u^{4}\bigr)\,du.

Passo 4

Agora integramos em u:
\frac{1}{2}\int\bigl(u^{5}-u^{4}\bigr)\,du =\frac{1}{2}\Bigl(\frac{u^{6}}{6}-\frac{u^{5}}{5}\Bigr)+C =\frac{u^{6}}{12}-\frac{u^{5}}{10}+C.

Passo 5

Voltando à variável x por u=x^{2}+1, obtemos
\frac{(x^{2}+1)^{6}}{12}-\frac{(x^{2}+1)^{5}}{10}+C.

Resposta

\boxed{\int x^{3}\bigl(x^{2}+1\bigr)^{4}\,dx =\frac{(x^{2}+1)^{6}}{12}-\frac{(x^{2}+1)^{5}}{10}+C.}

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