Calcule o volume do sólido delimitado pelos planos coordenados x=0, y=0 . z=0 e pelo plans x+y+z=3

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido no primeiro octante (onde x\ge0, y\ge0, z\ge0) limitado pelos planos coordenados x=0, y=0, z=0 e pelo plano x+y+z=3. Vamos usar o método de integração tripla para calcular esse volume.

Passo 2

Identificamos a região D em coordenadas cartesianas como
D=\{(x,y,z)\mid 0\le x\le3,\;0\le y\le3-x,\;0\le z\le3-x-y\}.

Passo 3

Escrevemos o volume V como integral tripla sobre D:
V=\iiint_{D}dV =\int_{x=0}^{3}\int_{y=0}^{3-x}\int_{z=0}^{3-x-y}dz\,dy\,dx.

Passo 4

Primeiro integramos em z:
\int_{0}^{3-x-y}dz=3-x-y,
de modo que
V=\int_{0}^{3}\int_{0}^{3-x}(3-x-y)\,dy\,dx.

Passo 5

Agora integramos em y:
\int_{0}^{3-x}(3-x-y)\,dy =(3-x)\,y-\frac{y^{2}}{2}\Bigg|_{0}^{3-x} =(3-x)^{2}-\frac{(3-x)^{2}}{2} =\frac{(3-x)^{2}}{2},
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V=\int_{0}^{3}\frac{(3-x)^{2}}{2}\,dx.

Passo 6

Finalmente integramos em x:
\int_{0}^{3}(3-x)^{2}\,dx =\left[-\tfrac{(3-x)^{3}}{3}\right]_{0}^{3} =\frac{27}{3}=9,
portanto
V=\frac{1}{2}\times9=\frac{9}{2}.

Resposta

\frac{9}{2}

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