Calcule as seguinte integrais:
$\int \frac{2 x^{2}-3 x-1}{x(x-1)(x+1)} d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{2x^{2}-3x-1}{x(x-1)(x+1)}\,dx.
O conteúdo principal aqui é integração de função racional por frações parciais: vamos decompor a razão em termos mais simples que se integram facilmente.

Passo 2

Suponha que
\frac{2x^{2}-3x-1}{x(x-1)(x+1)} =\frac{A}{x}+\frac{B}{x-1}+\frac{C}{x+1}.
Multiplicando ambos os lados por x(x-1)(x+1), obtemos
2x^{2}-3x-1 = A(x-1)(x+1) + B\,x(x+1) + C\,x(x-1).

Passo 3

Expanda o lado direito:
A(x^{2}-1)+B(x^{2}+x)+C(x^{2}-x) =(A+B+C)x^{2} + (B-C)x - A.
Comparando com 2x^{2}-3x-1\), igualamos coeficientes: \[\begin{cases} A+B+C = 2,\\\ B - C = -3,\\\\ -\,A = -1. \end{cases}
Da terceira equação vem (A=1].

Passo 4

Com A=1, a primeira dá 1 + B + C = 2, ou seja B + C = 1. Junto com B - C = -3, somamos para achar 2B = -2, logo B=-1. Então C = 1 - B = 2. Portanto
\frac{2x^{2}-3x-1}{x(x-1)(x+1)} =\frac{1}{x} - \frac{1}{x-1} + \frac{2}{x+1}.

Passo 5

Integramos termo a termo:
\int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x|,\quad \int \Bigl(-\frac{1}{x-1}\Bigr)\,dx = -\ln|x-1|,\quad \int \frac{2}{x+1}\,dx = 2\ln|x+1|.
Somando tudo, obtemos
\ln|x| - \ln|x-1| + 2\ln|x+1| + C.

Resposta

\ln|x| - \ln|x-1| + 2\ln|x+1| + C.

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