Use coordenadas polares para calcular a ńrea da região que está dentro do círculo x^{2}+y^{2}=2 x e fora do círculo x^{2}+y^{2}=1

Passo 1

O enunciado pede a área da região que está dentro do círculo
x^{2}+y^{2}=2x
e fora do círculo
x^{2}+y^{2}=1.
Vamos usar coordenadas polares, em que x=r\cos\theta e y=r\sin\theta, para descrever essas curvas e montar a integral de área.

Passo 2

Em coordenadas polares temos
x^{2}+y^{2}=r^{2},
então
r^{2}=2r\cos\theta \quad\Longrightarrow\quad r=2\cos\theta
define o primeiro círculo, e
r^{2}=1 \quad\Longrightarrow\quad r=1
define o segundo. A região desejada é aquela em que
1\le r\le 2\cos\theta.

Passo 3

Para que exista ponto com 1\le2\cos\theta precisamos de
2\cos\theta\ge1 \quad\Longrightarrow\quad \cos\theta\ge \tfrac12 \quad\Longrightarrow\quad -\tfrac{\pi}{3}\le\theta\le\tfrac{\pi}{3}.
Logo o ângulo varia de -\pi/3 até \pi/3.

Passo 4

A área em coordenadas polares é
\iint_{\mathcal{R}}dA =\int_{\theta=-\pi/3}^{\pi/3}\int_{r=1}^{2\cos\theta}r\,dr\,d\theta.

Passo 5

Primeiro integramos em r:
\int_{1}^{2\cos\theta}r\,dr =\frac{1}{2}\Bigl[(2\cos\theta)^{2}-1^{2}\Bigr] =\frac{1}{2}\bigl(4\cos^{2}\theta-1\bigr).
Então a área fica
\int_{-\pi/3}^{\pi/3}\frac{1}{2}\bigl(4\cos^{2}\theta-1\bigr)\,d\theta =\int_{-\pi/3}^{\pi/3}\bigl(2\cos^{2}\theta-\tfrac12\bigr)\,d\theta.
Usando \cos^{2}\theta=\frac{1+\cos(2\theta)}{2}, o integrando vira
2\cdot\frac{1+\cos(2\theta)}{2}-\tfrac12 =\tfrac12+\cos(2\theta).
Assim
\int_{-\pi/3}^{\pi/3}\Bigl(\tfrac12+\cos(2\theta)\Bigr)d\theta =\Bigl[\tfrac12\theta+\tfrac12\sin(2\theta)\Bigr]_{-\pi/3}^{\pi/3}.
Calculando:
\tfrac12\bigl(\tfrac{\pi}{3}-(-\tfrac{\pi}{3})\bigr) +\tfrac12\bigl(\sin\tfrac{2\pi}{3}-\sin(-\tfrac{2\pi}{3})\bigr) =\tfrac{\pi}{3}+\tfrac12\bigl(\tfrac{\sqrt{3}}{2}-(-\tfrac{\sqrt{3}}{2})\bigr) =\tfrac{\pi}{3}+\tfrac{\sqrt{3}}{2}.

Resposta

A área da região é
\boxed{\frac{\pi}{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}}.

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