Calcule a seguinte integral:
integral x raizx+1 d x

Passo 1

O enunciado pede a antiderivada da função xraizx+1. O conteúdo principal aqui é integração por substituição e, em seguida, uso da regra do poder para integrar potências.

Passo 2

Fazemos a substituição
t = x+1,
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x = t - 1 e dx = dt

Passo 3

Substituindo na integral original temos
integral xraizx+1,dx = integral (t-1),raizt,dt = integral l(t-1r),t^1/2,dt = integral l(t^3/2 - t^1/2r),dt

Passo 4

Aplicando a regra do poder integral t^k,dt = tfract^k+1k+1, obtemos
integral t^3/2,dt = t^5/25/2 = 25,t^5/2,
integral t^1/2,dt = t^3/23/2 = 23,t^3/2
Portanto
integral l(t^3/2 - t^1/2r),dt = 25,t^5/2 - 23,t^3/2 + C

Passo 5

Voltando à variável x (ou seja, t = x+1), a antiderivada fica
25,(x+1)^5/2 ;-;23,(x+1)^3/2 + C

Resposta

integral xraizx+1,dx = 25,(x+1)^5/2 - 23,(x+1)^3/2 + C

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