Calcule a seguinte integral:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral
. Esse exercício está relacionado ao Cálculo Integral, especificamente envolvendo técnicas de substituição para resolver integrais que parecem complicadas à primeira vista. Para resolver isso, vamos precisar usar uma substituição que simplifique a expressão dentro da integral.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos chamar de
a raiz que está no numerador:
Isso significa que:
Passo 3
Agora, precisamos substituir
por
na integral e também encontrar
em termos de
. Derivando
em relação a
:
Passo 4
Vamos substituir tudo na integral original:
Simplificando:
Passo 5
Agora, observamos que
pode ser reescrito como:
Então, a integral fica:
Passo 6
Vamos resolver cada parte separadamente:
Para a segunda integral, reconhecemos que ela tem a forma padrão
, onde
.
Então:
Passo 7
Substituindo de volta na nossa expressão:
Simplificando
:
Então:
Passo 8
Lembrando que fizemos a substituição
, vamos voltar para a variável original
:
Resposta
A integral
é igual a:
Onde
é a constante de integração.