Calcule a seguinte integral:
integral raizx-2x+1 d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral integral raizx-2x+1 , dx. Esse exercício está relacionado ao Cálculo Integral, especificamente envolvendo técnicas de substituição para resolver integrais que parecem complicadas à primeira vista. Para resolver isso, vamos precisar usar uma substituição que simplifique a expressão dentro da integral.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos chamar de t a raiz que está no numerador:
t = raizx - 2
Isso significa que:
t^2 = x - 2 Rightarrow x = t^2 + 2

Passo 3

Agora, precisamos substituir x por t na integral e também encontrar dx em termos de t . Derivando x = t^2 + 2 em relação a t :
dxdt = 2t Rightarrow dx = 2t , dt

Passo 4

Vamos substituir tudo na integral original:
integral raizx-2x+1 , dx = integral t(t^2 + 2) + 1 cdot 2t , dt = integral tt^2 + 3 cdot 2t , dt
Simplificando:
= 2 integral t^2t^2 + 3 , dt

Passo 5

Agora, observamos que t^2t^2 + 3 pode ser reescrito como:
t^2t^2 + 3 = 1 - 3t^2 + 3
Então, a integral fica:
2 integral (1 - 3t^2 + 3) , dt = 2 integral 1 , dt - 6 integral 1t^2 + 3 , dt

Passo 6

Vamos resolver cada parte separadamente:
  1. integral 1 , dt = t + C
  2. integral 1t^2 + 3 , dt
Para a segunda integral, reconhecemos que ela tem a forma padrão integral 1t^2 + a^2 , dt = 1a arctan(ta) + C, onde a = raiz3.
Então:
integral 1t^2 + 3 , dt = 1raiz3 arctan(traiz3) + C

Passo 7

Substituindo de volta na nossa expressão:
2t - 6 ( 1raiz3 arctan(traiz3) ) + C = 2t - 6raiz3 arctan(traiz3) + C
Simplificando 6raiz3:
6raiz3 = 2raiz3
Então:
2t - 2raiz3 arctan(traiz3) + C

Passo 8

Lembrando que fizemos a substituição t = raizx - 2 , vamos voltar para a variável original x :
2raizx - 2 - 2raiz3 arctan(raizx - 2raiz3) + C

Resposta

A integral integral raizx-2x+1 , dx é igual a:
2raizx - 2 - 2raiz3 arctan(raizx - 2raiz3) + C
Onde C é a constante de integração.

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