Problema 8 Determine o vetor posição de uma partícula, dada a sua aceleração e suas velocidade e posição iniciais.

Passo 1

O enunciado dá a aceleração
a(t)=2t,i+sin(t),j+cos(2t),k
e as condições iniciais
v(0)=i e r(0)=j.
O objetivo é usar que
v(t)=integrala(t),dt
e
r(t)=integralv(t),dt,
determinar as constantes de integração pelas condições iniciais.

Passo 2

Integramos cada componente de a(t) para obter v(t), escrevendo constantes Cx,Cy,Cz:
vx(t)=integral 2t,dt = t^2 + Cx
vy(t)=integral sin(t),dt = -cos(t) + Cy
vz(t)=integral cos(2t),dt = tfrac12sin(2t) + Cz
Em t=0 temos v(0)=i, ou seja vx(0)=1, vy(0)=0, vz(0)=0.
Isso dá
Cx=1, -cos(0)+Cy=0implies Cy=1, Cz=0
Logo
v(t)=(t^2+1),i+l(-cos(t)+1r),j+tfrac12sin(2t),k

Passo 3

Agora integramos cada componente de v(t) e introduzimos constantes Dx,Dy,Dz:
rx(t)=integral (t^2+1),dt = tfract^33 + t + Dx
ry(t)=integral l(-cos(t)+1r),dt = -sin(t) + t + Dy
rz(t)=integral tfrac12sin(2t),dt = -tfrac14cos(2t) + Dz
Em t=0 a condição r(0)=j implica rx(0)=0, ry(0)=1, rz(0)=0.
Assim
Dx=0, -sin(0)+0+Dy=1implies Dy=1, -tfrac14cos(0)+Dz=0implies Dz=tfrac14

Passo 4

Substituindo as constantes em cada componente, obtemos
rx(t)=tfract^33+t, ry(t)=-sin(t)+t+1, rz(t)=-tfrac14cos(2t)+tfrac14

Resposta

r(t)=l(tfract^33+tr)i+l(t-sin(t)+1r)j+tfrac1-cos(2t)4k

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