Calcule a seguinte integral:
Passo 1
O enunciado pede pra calcular a integral
. O conteúdo principal aqui é integração por partes, pois temos a função inversa
multiplicada por
.
Passo 2
Vamos escolher as funções para integração por partes:
e
. A ideia é usar
.
Precisamos das derivadas e antiderivadas: derivando temos
Precisamos das derivadas e antiderivadas: derivando
e integrando
Passo 3
Substituindo na fórmula de partes:
Passo 4
Agora falta calcular
. Fazemos a substituição
, assim
e
.
Com isso
Com isso
Passo 5
Voltando à integral original, ficamos com
Passo 6
É só reorganizar o sinal e juntar a constante de integração.
Resposta
x,\operatorname{arctanh}(x) + \frac{1}{2}\ln\bigl(1 - x^2\bigr) + C