Calcule a seguinte integral:
integral arctanh(x) d x

Passo 1

O enunciado pede pra calcular a integral integral arctanh(x),dx. O conteúdo principal aqui é integração por partes, pois temos a função inversa arctanh(x) multiplicada por 1.

Passo 2

Vamos escolher as funções para integração por partes: u = arctanh(x) e dv = dx. A ideia é usar integral u,dv = u,v - integral v,du.
Precisamos das derivadas e antiderivadas: derivando u temos
du = ddxl(arctanh(x)r),dx = 11 - x^2,dx,
e integrando dv obtemos
v = integral dx = x

Passo 3

Substituindo na fórmula de partes:
integral arctanh(x),dx = xcdot arctanh(x) - integral x cdot 11 - x^2,dx

Passo 4

Agora falta calcular integral x1 - x^2,dx. Fazemos a substituição t = 1 - x^2, assim dt = -2x,dx e x,dx = -tfrac12,dt.
Com isso
integral x1 - x^2,dx = -12integral dtt = -12lnl|tr| + C = -12lnl(1 - x^2r) + C

Passo 5

Voltando à integral original, ficamos com
integral arctanh(x),dx = x,arctanh(x) - l(-tfrac12ln(1 - x^2)r) + C

Passo 6

É só reorganizar o sinal e juntar a constante de integração.
boxed,x,arctanh(x) + tfrac12lnl(1 - x^2r) + C

Resposta

x,\operatorname{arctanh}(x) + \frac{1}{2}\ln\bigl(1 - x^2\bigr) + C

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