Utilize coordenadas esféricas para calcular \iiint_{B}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{2} d V onde B é a bola com centro na origem e raio igual a 9 .

Passo 1

O enunciado pede calcular \iiint_{B}(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2}\,dV, onde B é a bola de raio 9 centrada na origem. Vamos usar coordenadas esféricas, em que
x=\rho\sin\varphi\cos\theta,\quad y=\rho\sin\varphi\sin\theta,\quad z=\rho\cos\varphi,
e o elemento de volume é
dV=\rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.

Passo 2

Em esféricas temos
x^{2}+y^{2}+z^{2}=\rho^{2},
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(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2}=\rho^{4}
e o integrando fica
\rho^{4}\cdot\rho^{2}\sin\varphi=\rho^{6}\sin\varphi.

Passo 3

O domínio é
0\le\rho\le9,\quad 0\le\varphi\le\pi,\quad 0\le\theta\le2\pi.
Então
\iiint_{B}(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2}\,dV =\int_{0}^{2\pi}\!\!\int_{0}^{\pi}\!\!\int_{0}^{9}\rho^{6}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.
Calculemos separadamente:
\int_{0}^{9}\rho^{6}\,d\rho=\frac{9^{7}}{7},\quad \int_{0}^{\pi}\sin\varphi\,d\varphi=2,\quad \int_{0}^{2\pi}d\theta=2\pi.

Passo 4

Multiplicando os resultados:
\iiint_{B}(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2}\,dV =\frac{9^{7}}{7}\times2\times2\pi =\frac{4\pi\,9^{7}}{7}.

Resposta

\displaystyle \frac{4\pi\,9^{7}}{7}

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