Calcule a seguinte integral indefinida:
\int\left(\frac{3 x^{5}+2 x^{2}-\sqrt{x}}{x^{4}}\right) d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int\frac{3x^{5}+2x^{2}-\sqrt{x}}{x^{4}}\,dx.
O conteúdo aqui é integração de soma de potências de x, e vamos usar a regra \displaystyle \int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C, válida sempre que n\neq -1.

Passo 2

Primeiro simplificamos o integrando dividindo cada termo por x^{4}:
\frac{3x^{5}}{x^{4}} + \frac{2x^{2}}{x^{4}} - \frac{\sqrt{x}}{x^{4}} =3x + 2x^{-2} - x^{\frac12-4} =3x + 2x^{-2} - x^{-\tfrac{7}{2}}.

Passo 3

Agora integramos termo a termo:
\int 3x\,dx = 3\cdot\frac{x^{2}}{2} = \frac{3x^{2}}{2}, \quad \int 2x^{-2}\,dx = 2\cdot\frac{x^{-1}}{-1} = -2x^{-1},
\int \bigl(-x^{-\tfrac{7}{2}}\bigr)\,dx = -\frac{x^{-\tfrac{7}{2}+1}}{-\tfrac{7}{2}+1} = -\frac{x^{-\tfrac{5}{2}}}{-\tfrac{5}{2}} = \frac{2}{5}x^{-\tfrac{5}{2}}.

Passo 4

Somando todos os termos e incluindo a constante de integração C,
obtemos a antiderivada
\frac{3x^{2}}{2} \;-\; 2x^{-1} \;+\; \frac{2}{5}x^{-\tfrac{5}{2}} \;+\; C.

Resposta

\frac{3x^{2}}{2} \;-\; \frac{2}{x} \;+\; \frac{2}{5\,x^{5/2}} \;+\; C.

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