Utilize a integração por partes para calcular: \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}-4 x \cdot \cos (5 x) d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} -4\,x\cos(5x)\,dx
Usaremos integração por partes, cuja fórmula geral é
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du.

Passo 2

Primeiro, fatoramos a constante -4:
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} -4\,x\cos(5x)\,dx = -4 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x\cos(5x)\,dx.
Chamemos
I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x\cos(5x)\,dx.

Passo 3

Para I, escolhemos
u = x,\quad dv = \cos(5x)\,dx
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du = dx,\quad v = \int \cos(5x)\,dx = \frac{\sin(5x)}{5}.
Aplicando a integração por partes:
\int x\cos(5x)\,dx = x\cdot\frac{\sin(5x)}{5} - \int \frac{\sin(5x)}{5}\,dx = \frac{x\sin(5x)}{5} + \frac{\cos(5x)}{25} + C.

Passo 4

Agora avaliamos de 0 a \tfrac{\pi}{2}:
I = \left[\frac{x\sin(5x)}{5} + \frac{\cos(5x)}{25}\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}.
No limite superior x=\tfrac{\pi}{2}:
\frac{\tfrac{\pi}{2}\,\sin\bigl(5\cdot\tfrac{\pi}{2}\bigr)}{5} + \frac{\cos\bigl(5\cdot\tfrac{\pi}{2}\bigr)}{25} = \frac{\pi/2 \cdot 1}{5} + \frac{0}{25} = \frac{\pi}{10}.
No limite inferior x=0:
\frac{0\cdot\sin(0)}{5} + \frac{\cos(0)}{25} = 0 + \frac{1}{25} = \frac{1}{25}.
Logo
I = \frac{\pi}{10} - \frac{1}{25}.

Passo 5

Voltando à integral original, multiplicamos por -4:
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} -4\,x\cos(5x)\,dx = -4\Bigl(\frac{\pi}{10} - \frac{1}{25}\Bigr) = -\frac{4\pi}{10} + \frac{4}{25} = -\frac{2\pi}{5} + \frac{4}{25}.

Resposta

-\frac{2\pi}{5} + \frac{4}{25}.

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