Utilize o método da substituição para calcular: \int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{8 x}{\sqrt{1-4 x^{2}}} d X.

Passo 1

O enunciado nos dá a integral
\int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{8x}{\sqrt{1-4x^{2}}}\,dx
e pede para calcular usando o método da substituição.

Passo 2

Escolhemos a substituição
u = 1 - 4x^{2}.
Diferenciando, obtemos
du = -8x\,dx \quad\Longrightarrow\quad -\,du = 8x\,dx.

Passo 3

Substituindo na integral e trocando os limites:
quando x=0, u=1-4\cdot0^{2}=1;
quando x=\tfrac12, u=1-4\cdot(\tfrac12)^{2}=0.
A integral passa a ser
\int_{0}^{\frac12}\frac{8x}{\sqrt{1-4x^{2}}}\,dx = \int_{u=1}^{u=0}\frac{-\,du}{\sqrt{u}} = -\int_{1}^{0}u^{-\tfrac12}\,du = \int_{0}^{1}u^{-\tfrac12}\,du.

Passo 4

Integramos em u:
\int u^{-\tfrac12}\,du = 2\,u^{\tfrac12} + C.
Logo, a antiderivada no intervalo é
2\,u^{\tfrac12}\Big|_{0}^{1} = 2\bigl(\sqrt{1}-\sqrt{0}\bigr) = 2\cdot1 = 2.

Resposta

2

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