Calcule a seguinte integral:
\int_{0}^{1} \int_{1}^{\sqrt{e}} \int_{1}^{e} s e^{s} \ln r \frac{(\ln t)^{2}}{t} d t d r d s

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos calcular a integral tripla
\int_{s=0}^{1}\int_{r=1}^{\sqrt{e}}\int_{t=1}^{e} s\,e^{s}\,\ln(r)\,\frac{(\ln t)^{2}}{t}\,dt\,dr\,ds.
O conteúdo envolve integrais iteradas e vamos usar separação de variáveis, mudança de variável para a integral em t, cálculo direto em r e integração por partes em s.

Passo 2

Calcular a integral em t:
\int_{t=1}^{e}\frac{(\ln t)^{2}}{t}\,dt
fazendo u=\ln t, du=dt/t, quando t=1 temos u=0 e quando t=e temos u=1. Logo
\int_{1}^{e}\frac{(\ln t)^{2}}{t}\,dt =\int_{0}^{1}u^{2}\,du =\left[\frac{u^{3}}{3}\right]_{0}^{1} =\frac{1}{3}.

Passo 3

Agora sobra a integral em r:
\int_{r=1}^{\sqrt{e}}\ln(r)\,dr.
Usamos a primitiva \displaystyle \int \ln(r)\,dr = r\ln(r)-r. Assim
\int_{1}^{\sqrt{e}}\ln(r)\,dr =\bigl[r\ln(r)-r\bigr]_{1}^{\sqrt{e}} =\Bigl(\sqrt{e}\,\tfrac12 -\sqrt{e}\Bigr)-\bigl(1\cdot0 -1\bigr) =1-\frac{\sqrt{e}}{2}.

Passo 4

Ficamos então com
\frac{1}{3}\,\biggl(1-\frac{\sqrt{e}}{2}\biggr) \int_{0}^{1}s\,e^{s}\,ds.
Para \displaystyle \int_{0}^{1}s\,e^{s}\,ds usamos integração por partes: seja u=s, dv=e^{s}ds, então du=ds, v=e^{s}. Logo
\int s\,e^{s}\,ds =s\,e^{s}-\int e^{s}\,ds =s\,e^{s}-e^{s}+C
e avaliando de 0 a 1
\bigl(1\cdot e -e\bigr)-\bigl(0\cdot1-1\bigr) =0-(-1)=1.

Passo 5

Multiplicando tudo, a integral original vale
\frac{1}{3}\,\Bigl(1-\tfrac{\sqrt{e}}{2}\Bigr)\times 1 =\frac{1}{3}-\frac{\sqrt{e}}{6}.

Resposta

\frac{1}{3}-\frac{\sqrt{e}}{6}.

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