Utilizando integrais triplas em coordenadas cilíndricas, calcule o volume da esfera de equação
.
Passo 1
O enunciado pede o volume da esfera de equação
usando integrais triplas em coordenadas cilíndricas. Vamos precisar saber como passar para coordenadas cilíndricas, usar o Jacobiano
e estabelecer corretamente os limites de integração.
Passo 2
Em coordenadas cilíndricas temos
e o elemento de volume é
A esfera de raio
corresponde a
Logo,
varia de
a
,
de
a
e, para dado
,
Passo 3
O volume
é dado pela integral
Passo 4
Primeiro integramos em
:
Então
Passo 5
Para a integral em
, fazemos a substituição
,
. Assim,
Portanto
Passo 6
Integramos em
: