Utilizando integrais triplas em coordenadas cilíndricas, calcule o volume da esfera de equação x^{2}+y^{2}+z^{2}=25.

Passo 1

O enunciado pede o volume da esfera de equação x^{2}+y^{2}+z^{2}=25 usando integrais triplas em coordenadas cilíndricas. Vamos precisar saber como passar para coordenadas cilíndricas, usar o Jacobiano r e estabelecer corretamente os limites de integração.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas temos
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,\quad z = z,
e o elemento de volume é
dV = r\,dz\,dr\,d\theta.
A esfera de raio 5 corresponde a
r^{2}+z^{2}\le25.
Logo, \theta varia de 0 a 2\pi, r de 0 a 5 e, para dado r,
z\in \bigl[-\sqrt{25-r^{2}},\,\sqrt{25-r^{2}}\bigr].

Passo 3

O volume V é dado pela integral
V = \int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=0}^{5}\int_{z=-\sqrt{25-r^{2}}}^{\sqrt{25-r^{2}}}r\,dz\,dr\,d\theta.

Passo 4

Primeiro integramos em z:
\int_{-\sqrt{25-r^{2}}}^{\sqrt{25-r^{2}}}r\,dz = r\Bigl[\,z\Bigr]_{-\sqrt{25-r^{2}}}^{\sqrt{25-r^{2}}} = 2r\sqrt{25-r^{2}}.
Então
V = \int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{5}2r\sqrt{25-r^{2}}\,dr\,d\theta.

Passo 5

Para a integral em r, fazemos a substituição u = 25 - r^{2}, du = -2r\,dr. Assim,
\int_{0}^{5}2r\sqrt{25-r^{2}}\,dr = \int_{u=25}^{0}(-\sqrt{u})\,du = \int_{0}^{25}\sqrt{u}\,du = \left[\tfrac{2}{3}u^{3/2}\right]_{0}^{25} = \tfrac{2}{3}\,(25)^{3/2} = \tfrac{2}{3}\times125 = \tfrac{250}{3}.
Portanto
V = \int_{0}^{2\pi}\frac{250}{3}\,d\theta.

Passo 6

Integramos em \theta:
V = \frac{250}{3}\Bigl[\theta\Bigr]_{0}^{2\pi} = \frac{250}{3}\times2\pi = \frac{500\pi}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{500\pi}{3}

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