Utilizando integrais triplas em coordenadas retangulares, calcule o volume do tetraedro cortado a partir do primeiro octante pelo plano 20 x+15 y+12 z=60.

Passo 1

O enunciado pede o volume do tetraedro no primeiro octante limitado pelo plano
20x + 15y + 12z = 60
Usaremos integrais triplas em coordenadas retangulares para calcular
V = \iiint_{D} dV,
onde D é a região desse tetraedro.

Passo 2

Para descrever D, encontramos as interseções do plano com os eixos coordenados:
– em y=z=0: x = \tfrac{60}{20} = 3,
– em x=z=0: y = \tfrac{60}{15} = 4,
– em x=y=0: z = \tfrac{60}{12} = 5.
Logo D é dado por
0 \le x \le 3,\quad 0 \le y \le 4 - \tfrac{4}{3}\,x,\quad 0 \le z \le 5 - \tfrac{5}{3}\,x - \tfrac{5}{4}\,y.

Passo 3

O volume é
V = \int_{x=0}^{3} \int_{y=0}^{\,4 - \frac{4}{3}x} \int_{z=0}^{\,5 - \frac{5}{3}x - \frac{5}{4}y} dz\,dy\,dx.

Passo 4

Integramos primeiro em z:
\int_{0}^{5 - \frac{5}{3}x - \frac{5}{4}y} dz = 5 - \tfrac{5}{3}x - \tfrac{5}{4}y.
Então
V = \int_{0}^{3} \int_{0}^{\,4 - \frac{4}{3}x} \Bigl(5 - \tfrac{5}{3}x - \tfrac{5}{4}y\Bigr) dy\,dx.
Agora integramos em y:
\int_{0}^{\,4 - \frac{4}{3}x} \Bigl(5 - \tfrac{5}{3}x - \tfrac{5}{4}y\Bigr) dy = 10\Bigl(1 - \tfrac{x}{3}\Bigr)^{2}.

Passo 5

Fica então
V = \int_{0}^{3} 10\Bigl(1 - \tfrac{x}{3}\Bigr)^{2} dx.
Fazendo a mudança u = 1 - \tfrac{x}{3}, obtemos
V = 30 \int_{0}^{1} u^{2} du = 30 \cdot \tfrac{1}{3} = 10.

Resposta

O volume do tetraedro é 10 unidades cúbicas.

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