Calcule a seguinte integral iterada integral0^raizpi d y integraly^raizpi cos (x^2) d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral iterada
integral0^raizpi ! dy integraly^raizpi cosl(x^2r),dx
O conteúdo principal aqui é mudança de ordem de integração via Teorema de Fubini e, depois, uma substituição simples para resolver a integral resultante.

Passo 2

Vamos interpretar a região de integração no plano (x,y). O domínio é
D = (x,y)mid 0<= y<= raizpi,; y<= x<= raizpi
Trocar a ordem significa integrar primeiro em y e depois em x. Para um dado x, y varia de 0 até x. Logo
integral0^raizpi ! dy integraly^raizpi cosl(x^2r),dx = integralx=0^raizpi ! dx integraly=0^x cosl(x^2r),dy

Passo 3

Na integral interna em y, cos(x^2) é constante (já que não depende de y). Assim,
integraly=0^x cosl(x^2r),dy = cosl(x^2r),l[yr]0^x = x,cosl(x^2r)
Portanto a integral dupla vira
integral0^raizpi x,cosl(x^2r),dx

Passo 4

Para calcular
integral0^raizpi x,cosl(x^2r),dx
fazemos a substituição u = x^2. Então du = 2x,dx ou x,dx = tfrac12,du. Quando x=0, u=0; quando x=raizpi, u=pi. Logo
integral0^raizpi x,cosl(x^2r),dx = 12 integral0^pi cos(u),du

Passo 5

A integral de cos(u) é sin(u). Assim
12 integral0^pi cos(u),du = 12 l[sin(u)r]0^pi = 12l(sin(pi)-sin(0)r) = 12(0-0) = 0

Resposta

O valor da integral iterada é 0.

Exercícios relacionados