Calcule a seguinte integral iterada
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral iterada
O conteúdo principal aqui é mudança de ordem de integração via Teorema de Fubini e, depois, uma substituição simples para resolver a integral resultante.
Passo 2
Vamos interpretar a região de integração no plano
. O domínio é
Trocar a ordem significa integrar primeiro em
e depois em
. Para um dado
,
varia de
até
. Logo
Passo 3
Na integral interna em
,
é constante (já que não depende de
). Assim,
Portanto a integral dupla vira
Passo 4
Para calcular
fazemos a substituição
. Então
ou
. Quando
,
; quando
,
. Logo
Passo 5
A integral de
é
. Assim
Resposta
O valor da integral iterada é
.