Encontre a primitiva.
integral cos ^2 x tan ^3 x d x.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar uma primitiva de
integral cos^2x ,tan^3x ,dx
O conteúdo envolvido é integração de funções trigonométricas, em particular usar a identidade
tan^2x = sec^2x - 1
e depois calcular integrais básicas como integral tan x,dx e usar substituição simples.

Passo 2

Reescrevemos tan^3x = tan xcdot tan^2x e aplicamos tan^2x = sec^2x - 1, obtendo
integral cos^2x,tan^3x,dx = integral cos^2x,tan x,(sec^2x - 1),dx = integral underbracecos^2x,sec^2x=1,tan x,dx ;-;integral cos^2x,tan x,dx
ou seja
integral cos^2x,tan^3x,dx = integral tan x,dx ;-; integral cos^2x,tan x,dx

Passo 3

Calculemos primeiro
integral tan x,dx
Como tan x = dfracsin xcos x, sabe-se que
integral tan x,dx = -lnl|cos xr| + C1

Passo 4

Agora analisamos
integral cos^2x,tan x,dx
Note que
cos^2x,tan x = cos^2x;sin xcos x = cos x,sin x,
logo precisamos de
integral cos x,sin x,dx

Passo 5

Fazemos a substituição u = sin x, de modo que du = cos x,dx. Assim
integral cos x,sin x,dx = integral u,du = u^22 + C2 = sin^2x2 + C2

Passo 6

Reunindo os resultados:
integral cos^2x,tan^3x,dx = underbraceintegral tan x,dx-lnlvertcos xrvert ;-;underbraceintegral cos^2x,tan x,dxsin^2x2 = -lnl|cos xr| ;-;sin^2x2 + C

Resposta

-lnl|cos xr| ;-;sin^2x2 + C

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