Usando a definição, verifique se as funçães a seguir são deriváveis em x0 e em caso afirmativo, determine f^prime(x0) :
f(x)=l-3 x, x <= 2 x-8, x>2 (x0=2)

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)= -3x, & x <= 2, x-8, & x>2
e pede para verificar se f é derivável em x0=2. Para isso vamos usar a definição de derivada em um ponto:
f'(2)=limhto0f(2+h)-f(2)h,
mas precisamos checar separadamente as derivadas laterais e também garantir que f seja contínua em 2.

Passo 2

Verificamos primeiro a continuidade em x=2.
Para xto2^- temos f(2^-)=limxto2^-(-3x)=-3cdot2=-6.
Para xto2^+ temos f(2^+)=limxto2^+(x-8)=2-8=-6.
E f(2)= -3cdot2=-6.
Como
f(2^-)=f(2^+)=f(2)=-6,
a função é contínua em x=2.

Passo 3

Agora calculamos a derivada lateral pela esquerda:
quando h<0, 2+h<2 e vale o ramo f(x)=-3x. Portanto
f(2+h)-f(2)h =l(-3(2+h)r)-(-6)h =-6-3h+6h =-3hh=-3
Logo
limhto0^-f(2+h)-f(2)h=-3

Passo 4

Em seguida, a derivada lateral pela direita:
quando h>0, 2+h>2 e vale o ramo f(x)=x-8. Assim
f(2+h)-f(2)h =l((2+h)-8r)-(-6)h =-6+h+6h =hh=1
Portanto
limhto0^+f(2+h)-f(2)h=1

Passo 5

Para que f'(2) exista, as duas derivadas laterais devem coincidir. Aqui obtivemos
limhto0^-f(2+h)-f(2)h=-3 e limhto0^+f(2+h)-f(2)h=1,
que são diferentes. Logo a derivada não existe em x=2.

Resposta

A função não é derivável em x0=2, pois as derivadas laterais valem -3 e 1, que não coincidem.

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