Usando a definição, verifique se as funçães a seguir são deriváveis em
e em caso afirmativo, determine
:
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede para verificar se
é derivável em
. Para isso vamos usar a definição de derivada em um ponto:
mas precisamos checar separadamente as derivadas laterais e também garantir que
seja contínua em
.
Passo 2
Verificamos primeiro a continuidade em
.
Para temos
.
Para temos
.
E .
Como
Para
Para
E
Como
a função é contínua em
.
Passo 3
Agora calculamos a derivada lateral pela esquerda:
quando ,
e vale o ramo
. Portanto
quando
Logo
Passo 4
Em seguida, a derivada lateral pela direita:
quando ,
e vale o ramo
. Assim
quando
Portanto
Passo 5
Para que
exista, as duas derivadas laterais devem coincidir. Aqui obtivemos
que são diferentes. Logo a derivada não existe em
.
Resposta
A função não é derivável em
, pois as derivadas laterais valem
e
, que não coincidem.