Encontre a primitiva.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. Esse exercício está no conteúdo de Cálculo Integral, especificamente envolvendo integração por substituição. Para resolver, vamos precisar usar uma substituição que simplifique a expressão dentro da integral.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar uma parte da função que podemos substituir para facilitar a integral. Observamos que temos
dentro da raiz, então vamos definir:
Agora, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
:
Isso significa que:
Precisamos isolar
para substituir na integral:
Passo 3
Vamos reescrever a integral original usando essa substituição. Primeiro, notamos que:
E como
, podemos expressar
como:
Agora, substituindo na integral:
Simplificando:
Passo 4
Vamos simplificar a fração dentro da integral. Dividindo cada termo por
:
Então, a integral fica:
Passo 5
Agora, vamos integrar termo a termo. Lembrando que:
Para
:
Para
:
Então, juntando tudo:
Passo 6
Vamos simplificar os coeficientes:
Então, a solução fica:
Passo 7
Agora, voltamos à variável original
, lembrando que
:
Resposta
A primitiva é: