Encontre a primitiva.
integral x^3raizx^2+9 d x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral x^3raizx^2+9 , dx. Esse exercício está no conteúdo de Cálculo Integral, especificamente envolvendo integração por substituição. Para resolver, vamos precisar usar uma substituição que simplifique a expressão dentro da integral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da função que podemos substituir para facilitar a integral. Observamos que temos x^2 + 9 dentro da raiz, então vamos definir:
u = x^2 + 9
Agora, precisamos encontrar a derivada de u em relação a x:
dudx = 2x
Isso significa que:
du = 2x , dx
Precisamos isolar x , dx para substituir na integral:
x , dx = du2

Passo 3

Vamos reescrever a integral original usando essa substituição. Primeiro, notamos que:
x^3 = x cdot x^2
E como u = x^2 + 9, podemos expressar x^2 como:
x^2 = u - 9
Agora, substituindo na integral:
integral x^3raizx^2+9 , dx = integral x cdot (u - 9)raizu cdot du2
Simplificando:
12 integral (u - 9)raizu , du

Passo 4

Vamos simplificar a fração dentro da integral. Dividindo cada termo por raizu:
uraizu = raizu
-9raizu = -9u^-1/2
Então, a integral fica:
12 integral ( raizu - 9u^-1/2 ) , du

Passo 5

Agora, vamos integrar termo a termo. Lembrando que:
integral u^n , du = u^n+1n+1 + C
Para raizu = u^1/2 :
integral u^1/2 , du = u^3/23/2 = 23u^3/2
Para -9u^-1/2 :
integral -9u^-1/2 , du = -9 cdot u^1/21/2 = -18u^1/2
Então, juntando tudo:
12 ( 23u^3/2 - 18u^1/2 ) + C

Passo 6

Vamos simplificar os coeficientes:
12 cdot 23u^3/2 = 13u^3/2
12 cdot (-18)u^1/2 = -9u^1/2
Então, a solução fica:
13u^3/2 - 9u^1/2 + C

Passo 7

Agora, voltamos à variável original x, lembrando que u = x^2 + 9:
13(x^2 + 9)^3/2 - 9(x^2 + 9)^1/2 + C

Resposta

A primitiva é:
13(x^2 + 9)^32 - 9(x^2 + 9)^12 + C

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