Discuta o comportamento das séries abaixo, justificando sua resposta:
sumn=1^+infty (2 n)^nn^2 n

Passo 1

Então, temos aqui um exercício que pede para a gente discutir o comportamento da série sumn=1^+infty (2n)^nn^2n. Isso está dentro do estudo de séries infinitas na matemática, mais especificamente sobre a convergência ou divergência de séries. Para resolver isso, vamos precisar entender como simplificar o termo geral da série e aplicar um teste de convergência adequado.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série: (2n)^nn^2n. Podemos reescrever isso da seguinte forma:
(2n)^nn^2n = 2^n cdot n^nn^2n = 2^n cdot n^n - 2n = 2^n cdot n^-n = (2n)^n
Então, o termo geral simplificado é (2n)^n.

Passo 3

Agora que temos o termo geral simplificado, vamos analisar o comportamento dessa expressão quando n tende ao infinito. Observamos que 2n se aproxima de 0 conforme n aumenta, já que o denominador cresce sem limites. Portanto, (2n)^n tende a 0 à medida que n tende ao infinito.

Passo 4

Apesar de o termo geral tender a 0, isso não garante automaticamente que a série converge. Precisamos aplicar um teste de convergência para determinar isso com certeza. Vamos usar o Teste da Raiz, que é muito útil para séries com termos na forma de potências.

Passo 5

No Teste da Raiz, calculamos o limite:
L = limn to infty raiz[n]|an| = limn to infty raiz[n](2n)^n = limn to infty 2n = 0
Como L = 0 e 0 < 1, de acordo com o teste, a série converge absolutamente.

Resposta

A série sumn=1^+infty (2n)^nn^2n converge absolutamente.

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