Discuta o comportamento das séries abaixo, justificando sua resposta:
Passo 1
Então, temos aqui um exercício que pede para a gente discutir o comportamento da série
. Isso está dentro do estudo de séries infinitas na matemática, mais especificamente sobre a convergência ou divergência de séries. Para resolver isso, vamos precisar entender como simplificar o termo geral da série e aplicar um teste de convergência adequado.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série:
. Podemos reescrever isso da seguinte forma:
Então, o termo geral simplificado é
.
Passo 3
Agora que temos o termo geral simplificado, vamos analisar o comportamento dessa expressão quando
tende ao infinito. Observamos que
se aproxima de 0 conforme
aumenta, já que o denominador cresce sem limites. Portanto,
tende a 0 à medida que
tende ao infinito.
Passo 4
Apesar de o termo geral tender a 0, isso não garante automaticamente que a série converge. Precisamos aplicar um teste de convergência para determinar isso com certeza. Vamos usar o Teste da Raiz, que é muito útil para séries com termos na forma de potências.
Passo 5
No Teste da Raiz, calculamos o limite:
Como
e
, de acordo com o teste, a série converge absolutamente.
Resposta
A série
converge absolutamente.