Calcule a seguinte integral iterada:
integral0^1 integral0^x integralx^2 x y z cos (x^5) d z d y d x (H=110 m^4)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral iterada de uma função de três variáveis em um domínio definido pelas desigualdades 0≤x≤1, 0≤y≤x e x≤z≤2x. O conteúdo principal é integração múltipla, e precisaremos aplicar sucessivas integrais simples e, no último passo, uma substituição para integrar cos(x^5).

Passo 2

Começamos integrando em z, tratando y e cos(x^5) como constantes:
integralz=x^2xy,z,cos(x^5),dz = y,cos(x^5)integralx^2xz,dz = y,cos(x^5)[tfrac12z^2]x^2x = y,cos(x^5)cdottfrac12(4x^2 - x^2) = tfrac32x^2y,cos(x^5)

Passo 3

Agora integramos em y:
integraly=0^xtfrac32x^2y,cos(x^5),dy = tfrac32x^2cos(x^5)integral0^xy,dy = tfrac32x^2cos(x^5)[tfrac12y^2]0^x = tfrac34x^4cos(x^5)

Passo 4

Por fim, integramos em x:
integral0^1tfrac34x^4cos(x^5),dx
Fazemos a substituição u=x^5, du=5x^4dx ⇒ x^4dx=du/5, e os limites viram u(0)=0, u(1)=1.
integral0^1tfrac34x^4cos(x^5),dx = tfrac34cdottfrac15integral0^1cos(u),du = tfrac320[sin(u)]0^1 = tfrac320sin(1)

Resposta

tfrac320sin(1)

Exercícios relacionados