Resolva a integral tripla
, onde D é a região limitada por
.
[
\left(\mathrm{V}=4 / 3 \mathrm{~m}^{3}\right)
\left(\mathrm{V}=4 / 3 \mathrm{~m}^{3}\right)
Passo 1
O enunciado pede para calcular o volume da região D usando integral tripla. O conteúdo é definição de volume via integral de 1 sobre D e precisamos saber projetar D no plano xy e escolher corretamente os limites de integração.
Passo 2
Para entender D, note que ela é limitada pelas superfícies z=x^2 (paraboloide), z=1 (plano superior), pelo plano y=1 e pelo plano y=0 (para fechar a região em y). A projeção de D no plano xy é o retângulo R: x varia de –1 a 1 (pois x^2≤1) e y varia de 0 a 1. Para cada (x,y) em R, z vai de z=x^2 até z=1.
Passo 3
Escrevemos então a integral iterada:
Integramos primeiro em z:
Fica
Passo 4
Agora integramos em x:
E em y:
Multiplicando, obtemos o volume.
Passo 5
Portanto, o volume da região D é
.