Resolva a integral tripla integral duplaD integral d z d y d x, onde D é a região limitada por z=x^2, z=0, z=1, y=1.
[
\left(\mathrm{V}=4 / 3 \mathrm{~m}^{3}\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular o volume da região D usando integral tripla. O conteúdo é definição de volume via integral de 1 sobre D e precisamos saber projetar D no plano xy e escolher corretamente os limites de integração.

Passo 2

Para entender D, note que ela é limitada pelas superfícies z=x^2 (paraboloide), z=1 (plano superior), pelo plano y=1 e pelo plano y=0 (para fechar a região em y). A projeção de D no plano xy é o retângulo R: x varia de –1 a 1 (pois x^2≤1) e y varia de 0 a 1. Para cada (x,y) em R, z vai de z=x^2 até z=1.

Passo 3

Escrevemos então a integral iterada:
V=integraly=0^1integralx=-1^1integralz=x^2^11,dz,dx,dy
Integramos primeiro em z:
integralx^2^11,dz=1-x^2
Fica
V=integral0^1integral-1^1(1-x^2),dx,dy

Passo 4

Agora integramos em x:
integral-1^1(1-x^2),dx=l[x-x^33r]-1^1=l(1-tfrac13r)-l(-1+tfrac13r)=tfrac43
E em y:
integral0^1dy=1
Multiplicando, obtemos o volume.

Passo 5

Portanto, o volume da região D é V=tfrac43,m^3.

Resposta

tfrac43,m^3

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