Verifique se a equação dada é linear. Se for, resolva:

Passo 1

Temos a equação diferencial y,dx + (x y + 2x - y e^y),dy = 0. O conteúdo é uma equação linear de primeira ordem em x(y) e vamos usar o método do fator integrante para resolver.

Passo 2

Dividindo por dy e reorganizando, obtemos
ydxdy + x(y+2) - y e^y = 0 ou seja
dxdy + y+2y,x = e^y

Passo 3

Identificamos que P(y)=y+2y e Q(y)=e^y na forma padrão dxdy+P(y)x=Q(y).

Passo 4

O fator integrante é
mu(y)=expl(integral P(y),dyr)=expl(integral(1+tfrac2y),dyr)=e^yy^2

Passo 5

Multiplicando a equação por mu(y) vemos que o lado esquerdo vira derivada:
ddyl(x,e^yy^2r)=y^2e^2y

Passo 6

Agora integramos ambos os lados:
x,e^yy^2= integral y^2e^2y,dy + C

Passo 7

Para calcular integral y^2e^2ydy usamos integração por partes repetida, chegando a
integral y^2e^2ydy=e^2yl(tfracy^22-tfracy2+tfrac14r)+C'

Passo 8

Substituindo de volta e isolando x, temos
x,e^yy^2=e^2yl(tfracy^22-tfracy2+tfrac14r)+C
logo
x=e^yl(y^2-y+tfrac12r)2y^2+C,e^-yy^2

Resposta

A solução geral é
x(y)=e^yl(y^2-y+tfrac12r)2y^2+C,e^-yy^2

Exercícios relacionados