Classifique as equações abaixo como exata, separável, linear ou nenhuma delas. Justifique.
(b) (2 x+y) d x+(x-2 y) d y=0

Passo 1

O enunciado apresenta a equação diferencial em forma diferencial exata possível:
(2x + y)\,dx + (x - 2y)\,dy = 0
e pede para classificá-la como exata, separável, linear ou nenhuma delas. Vamos usar as definições de cada tipo:
– Exata: se escrevemos M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy=0, deve valer \frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}.
– Separável: se puder reescrever como g(y)\,dy = f(x)\,dx.
– Linear (em y): se puder pôr na forma \frac{dy}{dx}+P(x)\,y=Q(x).

Passo 2

Identificamos
M(x,y)=2x+y
N(x,y)=x-2y.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial M}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}(2x+y)=1,
\frac{\partial N}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}(x-2y)=1.
Como \frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}, a equação é exata.

Passo 4

Para ver se é separável, isolamos
\frac{dy}{dx} =-\frac{2x+y}{\,x-2y\,}.
Não é possível escrever o lado direito como um produto f(x)\,g(y), logo não é separável.

Passo 5

Para verificar linearidade, tentaríamos escrever
\frac{dy}{dx}+P(x)\,y=Q(x).
Mas na nossa forma \frac{dy}{dx}=-(2x+y)/(x-2y) aparecem y também no denominador, não se encaixa em P(x) e Q(x) apenas funções de x. Portanto não é linear.

Resposta

A equação diferencial é exata.

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