Calcule a seguinte integral:
integral ln ^2 x d x=x ln ^2 x-2 x ln x+2 x+C

Passo 1

O exercício pede para calcular a integral indefinida integral (ln x)^2 ,dx. Vamos usar a técnica de integração por partes, pois temos um produto implícito entre (ln x)^2 e 1.

Passo 2

Escolhemos as funções para a fórmula de integração por partes integral u,dv = u v - integral v,du. Definimos
u = (\ln x)^2 e dv = dx

Passo 3

Calculamos du e v:
Para u=(ln x)^2, temos
du = 2ln x cdot 1x ,dx = 2ln xx ,dx.
Para dv=dx, integra-se para obter
v = x.

Passo 4

Aplicando a fórmula:
integral (ln x)^2 ,dx = u v - integral v,du = x(ln x)^2 - integral x cdot 2ln xx ,dx = x(ln x)^2 - 2integral ln x ,dx

Passo 5

Agora precisamos calcular integral ln x ,dx. Novamente, usamos integração por partes. Definimos:
u1 = ln x, ; dv1 = dx. Então
du1 = 1x ,dx, ; v1 = x.

Passo 6

Aplicando a fórmula à segunda integral:
integral ln x ,dx = u1 v1 - integral v1,du1 = xln x - integral x cdot 1x ,dx = xln x - integral 1 ,dx = xln x - x

Passo 7

Substituímos esse resultado na expressão obtida no passo 4:
integral (ln x)^2 ,dx = x(ln x)^2 - 2l(xln x - xr) + C = x(ln x)^2 - 2xln x + 2x + C

Resposta

x \ln^2 x - 2x \ln x + 2x + C

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