Calcule a seguinte integral:
Passo 1
O exercício pede para calcular a integral indefinida
. Vamos usar a técnica de integração por partes, pois temos um produto implícito entre
e
.
Passo 2
Escolhemos as funções para a fórmula de integração por partes
. Definimos
u = (\ln x)^2 e dv = dx
u = (\ln x)^2 e dv = dx
Passo 3
Calculamos du e v:
Para , temos
.
Para , integra-se para obter
.
Para
Para
Passo 4
Aplicando a fórmula:
Passo 5
Agora precisamos calcular
. Novamente, usamos integração por partes. Definimos:
. Então
.
Passo 6
Aplicando a fórmula à segunda integral:
Passo 7
Substituímos esse resultado na expressão obtida no passo 4:
Resposta
x \ln^2 x - 2x \ln x + 2x + C