Calcule os seguintes limites usando L’Hopital quando possível

Passo 1

Estamos olhando o limite limxtoinftyl(tfracxx^2+1r)^x. O conteúdo aqui é uma forma indeterminada do tipo 1^infty, então vamos usar logaritmo natural para transformar em algo do tipo inftytimes0 ou inftyinfty.

Passo 2

Definimos y=l(tfracxx^2+1r)^x e tomamos o logaritmo:
ln y = xl(ln x - ln(x^2+1)r)

Passo 3

Agora avaliamos o limite de ln y quando xtoinfty. Note que
ln x - ln(x^2+1) = lnxx^2+1 = -ln x - lnl(1+tfrac1x^2r)sim -ln x(quando xtoinfty),

Passo 4

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ln y = xl(-ln x + o(1)r) = -xln x + o(x)

Passo 5

Como xln xtoinfty, temos ln yto -infty.
Portanto
y=exp(ln y)toexp(-infty)=0

Resposta

0

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