Calcule a seguinte integral:
Passo 1
O enunciado pede para calcular
. O conteúdo principal aqui é integração por partes, para o qual usaremos a fórmula de integração por partes.
Passo 2
Precisamos escolher funções
e
. Seja
e
. Então calculamos:
e
.
Passo 3
Aplicando integração por partes:
Substituindo as expressões de
, obtemos:
Passo 4
Agora resta calcular
. Novamente por partes, tome
,
. Então
e
. Logo:
Passo 5
Substituindo esse resultado na expressão original e combinando as constantes de integração, temos:
Simplificando e fatorando
, concluímos:
Resposta
(\frac{x{2}}{2}(\ln{2}x - \ln x + \tfrac12) + C)