Calcule a seguinte integral:
integral x(ln x)^2 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular integral x(ln x)^2,dx. O conteúdo principal aqui é integração por partes, para o qual usaremos a fórmula de integração por partes.

Passo 2

Precisamos escolher funções u e dv. Seja u=(ln x)^2 e dv = x,dx. Então calculamos:
du = 2(ln x)1x,dx = 2ln xx,dx e
v = integral x,dx = x^22.

Passo 3

Aplicando integração por partes:
integral x(ln x)^2,dx = u,v - integral v,du
Substituindo as expressões de u,v,du, obtemos:
x^22(ln x)^2 - integral x^22cdot 2ln xx,dx = x^22(ln x)^2 - integral xln x,dx .

Passo 4

Agora resta calcular integral xln x,dx. Novamente por partes, tome u1=ln x, dv1=x,dx. Então du1=1x,dx e v1=x^22. Logo:
integral xln x,dx = x^22ln x - integral x^22cdot 1x,dx = x^22ln x - integral x2,dx = x^22ln x - x^24 + C1 .

Passo 5

Substituindo esse resultado na expressão original e combinando as constantes de integração, temos:
integral x(ln x)^2,dx = x^22(ln x)^2 - l(x^22ln x - x^24r) + C
Simplificando e fatorando x^2/2, concluímos:
x^22l(ln^2x - ln x + tfrac12r) + C .

Resposta

(\frac{x{2}}{2}(\ln{2}x - \ln x + \tfrac12) + C)

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