Considere a função y=tx+t, onde t=t(x) é uma função derivável. Calcule t=2 sabendo que x=1 para t. (Observe que x está sendo considerado como função de .)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a derivada de y=tx+t, onde t=t(x) é uma função de x, e usar o valor y'|x=1=4 sabendo que t(1)=2. O conteúdo principal envolve a regra do quociente e a regra da cadeia.

Passo 2

Para derivar y em função de x, usamos a regra do quociente: se y=uv, então
y' = u',v - u,v'v^2
Aqui definimos
u = t(x), v = x + t(x),
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u' = t'(x), v' = 1 + t'(x)

Passo 3

Substituindo na fórmula do quociente, obtemos
y' = t'(x)l(x+t(x)r) - t(x)l(1 + t'(x)r)l(x+t(x)r)^2
No numerador, agrupando termos de t'(x):
t'(x),x + t'(x),t(x) - t(x) - t(x)t'(x) = t'(x),x - t(x)
Então
y' = x,t'(x) - t(x)l(x+t(x)r)^2

Passo 4

Avaliando em x=1, com t(1)=2 e impondo y'|x=1=4, temos
1cdot t'(1) - 2(1+2)^2 = 4
t'(1) - 29 = 4
t'(1) - 2 = 36
t'(1) = 38

Resposta

t’(1) = 38

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