sumn=1^infty(2 cdot 4 cdot 6 cdots(2 n)2 cdot 5 cdot 8 cdots(3 n-1))^2 x^n

Passo 1

O enunciado apresenta a série de potências
sumn=1^inftyl(2cdot4cdot6cdots(2n)2cdot5cdot8cdots(3n-1)r)^2x^n
e pede o raio de convergência. Vamos usar o teste da razão, que é padrão para séries de potências.

Passo 2

Primeiro expressamos em forma fechada o produto do numerador. Note que
2cdot4cdot6cdots(2n) =2^n,(1cdot2cdot3cdots n) =2^n,n!
Logo, se definirmos
an=l(2cdot4cdotcdots(2n)2cdot5cdotcdots(3n-1)r)^2,
então o fator de cima é (2^nn!)^2=2^2n(n!)^2.

Passo 3

Agora o denominador genérico é
2cdot5cdot8cdots(3n-1) =prodk=1^n(3k-1) =3^nprodk=1^nl(k-tfrac13r) =3^n,Gammal(n+tfrac23r)Gammal(tfrac23r)
Portanto
an =2^2n(n!)^2l(3^n,Gamma(n+tfrac23)/Gamma(tfrac23)r)^2 =Gammal(tfrac23r)^2,l(23r)^2n, (n!)^2Gamma(n+tfrac23)^2

Passo 4

Aplicamos o teste da razão à sequência anx^n. Calculemos
L =limntoinftyl|an+1,x^,n+1an,x^,nr| =|x|, limntoinftyan+1an
Mas para grandes n vale
an+1an siml(23r)^2 Longrightarrow limntoinftyan+1an=49
Logo
L=|x|;49

Passo 5

O teste da razão diz que a série converge se L<1, isto é
|x|,49<1 Long<=ftrightarrow |x|<94
Portanto o raio de convergência é

Resposta

R=94

Exercícios relacionados