Use o teste da derivada segunda para encontrar os mínimos e máximos relativos das seguintes funções:
f(x)=e^x^3-3 x

Passo 1

A questão pede para classificar mínimos e máximos relativos de f(x)=e^x^3-3x usando o teste da derivada segunda. Vamos precisar calcular a primeira e a segunda derivadas, encontrar os pontos críticos e avaliar o sinal de f''(x) nesses pontos para decidir se são mínimos ou máximos.

Passo 2

Calcular a primeira derivada: como f(x)=e^g(x) com g(x)=x^3-3x, temos g'(x)=3x^2-3, então
f'(x)=e^x^3-3xcdot(3x^2-3)=3(x^2-1)e^x^3-3x

Passo 3

Encontrar pontos críticos resolvendo f'(x)=0. Como e^x^3-3x>0 para todo x, basta 3(x^2-1)=0, logo x^2-1=0 e x=pm1.

Passo 4

Calcular a segunda derivada usando a regra do produto em f'(x)=3(x^2-1)e^x^3-3x. Derivando:
f''(x)=6x e^x^3-3x+3(x^2-1)e^x^3-3xcdot(3x^2-3)
Fatorando e^x^3-3x e usando 3x^2-3=3(x^2-1), obtemos
f''(x)=e^x^3-3xl(6x+9(x^2-1)^2r)

Passo 5

Avaliar f'' nos pontos críticos:
Para x=1:
f''(1)=e^1-3l(6cdot1+9(1-1)^2r)=6e^-2>0,
logo há mínimo relativo em x=1 com f(1)=e^-2.
Para x=-1:
f''(-1)=e^-1+3l(6cdot(-1)+9(1-1)^2r)=-6e^2<0,
logo há máximo relativo em x=-1 com f(-1)=e^2.

Resposta

Em x=-1 há máximo relativo com valor f(-1)=e^2 e em x=1 há mínimo relativo com valor f(1)=e^-2.

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