Determine se a seguinte integral imprópria converge ou diverge:
Seja
contínua em
,
Seja
Passo 1
O que o enunciado pede: determinar se a integral imprópria
converge ou diverge, e (se convergir) achar o valor. Informações dadas: a função
é contínua em
mas não está definida em
, logo a integral é imprópria no extremo
. A integral é entendida como
Passo 2
Por que usamos esse limite: quando a função é singular (ou não definida) num extremo do intervalo, definimos a integral imprópria como o limite das integrais propriamente ditas num intervalo que evita a singularidade. Se esse limite existir (for finito), dizemos que a integral converge; se o limite for infinito ou não existir, dizemos que diverge. Aqui a singularidade é em
, por isso consideramos
.
Como calcular : escrevemos a função com potência. Note que
Como calcular
Usamos a regra básica de integração de potências: para
,
Aqui
, então
. Aplicando a regra,
Explicando as notações:
. O
é constante de integração, que some ao calcular integral definida.
Passo 3
Agora avaliamos a integral definida de
até
usando a primitiva encontrada:
Calculamos
: primeiro
(porque
), então
. Portanto
Passo 4
Tomamos o limite quando
:
Como o limite é finito, a integral imprópria converge e seu valor é
.
Comentário adicional (teste de potência, útil na prova): para integrais do tipo com
, vale o critério: a integral converge se e somente se
. Aqui
, então a convergência era esperada. Exemplos rápidos:
converge (vale
), enquanto
diverge (vai para
).
Comentário adicional (teste de potência, útil na prova): para integrais do tipo
Resposta
A integral converge e
.