Determine se a seguinte integral imprópria converge ou diverge:
Seja f(x)=\frac{1}{\sqrt[3]{x}} contínua em (0,8],
\int_{0}^{8} \frac{1}{\sqrt[3]{x}} d x=\lim _{c \rightarrow 0^{+}} \int_{c}^{8} \frac{1}{\sqrt[3]{x}} d x=\lim _{c \rightarrow 0^{+}}\left[\frac{3 \sqrt[3]{x^{2}}}{2}\right]_{c}^{8}=\lim _{c \rightarrow 0^{+}}\left(\frac{3 \sqrt[3]{8^{2}}}{2}-\frac{3 \sqrt[3]{c^{2}}}{2}\right)=6 ;

Passo 1

O que o enunciado pede: determinar se a integral imprópria
\int_{0}^{8} \frac{1}{\sqrt[3]{x}}\,dx
converge ou diverge, e (se convergir) achar o valor. Informações dadas: a função f(x)=\frac{1}{\sqrt[3]{x}} é contínua em (0,8] mas não está definida em x=0, logo a integral é imprópria no extremo 0. A integral é entendida como
\int_{0}^{8} \frac{1}{\sqrt[3]{x}}\,dx=\lim_{c\to 0^{+}}\int_{c}^{8}\frac{1}{\sqrt[3]{x}}\,dx.

Passo 2

Por que usamos esse limite: quando a função é singular (ou não definida) num extremo do intervalo, definimos a integral imprópria como o limite das integrais propriamente ditas num intervalo que evita a singularidade. Se esse limite existir (for finito), dizemos que a integral converge; se o limite for infinito ou não existir, dizemos que diverge. Aqui a singularidade é em x=0, por isso consideramos \lim_{c\to0^{+}}\int_{c}^{8}.
Como calcular \int_{c}^{8}\frac{1}{\sqrt[3]{x}}\,dx: escrevemos a função com potência. Note que
\frac{1}{\sqrt[3]{x}}=x^{-1/3}.
Usamos a regra básica de integração de potências: para p\neq -1,
\int x^{p}\,dx=\frac{x^{p+1}}{p+1}+C.
Aqui p=-\tfrac{1}{3}, então p+1=\tfrac{2}{3}\neq 0. Aplicando a regra,
\int x^{-1/3}\,dx=\frac{x^{2/3}}{2/3}+C=\frac{3}{2}x^{2/3}+C.
Explicando as notações: x^{2/3}=(\sqrt[3]{x})^{2}=\sqrt[3]{x^{2}}. O C é constante de integração, que some ao calcular integral definida.

Passo 3

Agora avaliamos a integral definida de c até 8 usando a primitiva encontrada:
\int_{c}^{8} x^{-1/3}\,dx=\left[\frac{3}{2}x^{2/3}\right]_{x=c}^{x=8}=\frac{3}{2}\,8^{2/3}-\frac{3}{2}\,c^{2/3}.
Calculamos 8^{2/3}: primeiro 8^{1/3}=2 (porque 2^3=8), então 8^{2/3}=(8^{1/3})^{2}=2^{2}=4. Portanto
\int_{c}^{8} x^{-1/3}\,dx=\frac{3}{2}\cdot 4-\frac{3}{2}\,c^{2/3}=6-\frac{3}{2}\,c^{2/3}.

Passo 4

Tomamos o limite quando c\to 0^{+}:
\lim_{c\to 0^{+}}\left(6-\frac{3}{2}\,c^{2/3}\right)=6-\frac{3}{2}\cdot 0=6.
Como o limite é finito, a integral imprópria converge e seu valor é 6.
Comentário adicional (teste de potência, útil na prova): para integrais do tipo \int_{0}^{a} x^{-\alpha}\,dx com \alpha>0, vale o critério: a integral converge se e somente se \alpha<1. Aqui \alpha=\tfrac{1}{3}<1, então a convergência era esperada. Exemplos rápidos: \int_{0}^{1} x^{-1/2}\,dx converge (vale 2), enquanto \int_{0}^{1} x^{-1}\,dx diverge (vai para +\infty).

Resposta

A integral converge e \displaystyle \int_{0}^{8}\frac{1}{\sqrt[3]{x}}\,dx=6.

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