Calcule a seguinte integral:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O problema é calcular a seguinte integral:
Aqui, estamos lidando com uma fração racional, que é uma fração onde o numerador e o denominador são polinômios. Para resolver isso, vamos usar frações parciais, que nos ajudam a simplificar a integral em partes mais fáceis de resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o denominador do integrando:
Podemos fatorar esse polinômio. Vamos fatorar por x:
Agora, vamos olhar para o polinômio quadrático $ x^{2} + 2x + 1 $. Podemos fatorar isso ainda mais:
Então, o denominador fatorado é $ x(x+1)^2 $.
Passo 3
Agora que temos o denominador fatorado, vamos expressar a fração original como uma soma de frações parciais. Ou seja, queremos encontrar constantes $ A $, $ B $ e $ C $ tais que:
Essa técnica de frações parciais nos permite quebrar a fração complicada em partes mais simples que são mais fáceis de integrar.
Passo 4
Para encontrar os valores de $ A $, $ B $ e $ C $, vamos eliminar os denominadores multiplicando ambos os lados por $ x(x+1)^2 $:
Agora, expandimos os termos do lado direito:
Agora, agrupamos os termos semelhantes:
Agora, estabelecemos as equações comparando os coeficientes de cada termo:
- Para $ x^2 $: $ A + B = 3 $
- Para $ x $: $ 2A + B + C = 4 $
- Para o termo constante: $ A = 2 $
Já sabemos que $ A = 2 $. Substituindo na primeira equação:
Agora, substituindo $ A = 2 $ e $ B = 1 $ na segunda equação:
Então, temos:
Passo 5
Agora, substituímos os valores encontrados na expressão das frações parciais:
Simplificando:
Agora, podemos integrar cada termo separadamente.
Passo 6
Vamos integrar cada parte da expressão:
Somando tudo:
Resposta
A integral é igual a: