Calcule a seguinte integral:
integral 3 x^2+4 x+2x^3+2 x^2+x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O problema é calcular a seguinte integral:
integral 3 x^2+4 x+2x^3+2 x^2+x , dx
Aqui, estamos lidando com uma fração racional, que é uma fração onde o numerador e o denominador são polinômios. Para resolver isso, vamos usar frações parciais, que nos ajudam a simplificar a integral em partes mais fáceis de resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o denominador do integrando:
x^3+2 x^2+x
Podemos fatorar esse polinômio. Vamos fatorar por x:
x(x^2 + 2x + 1)
Agora, vamos olhar para o polinômio quadrático $ x^{2} + 2x + 1 $. Podemos fatorar isso ainda mais:
x^2 + 2x + 1
Então, o denominador fatorado é $ x(x+1)^2 $.

Passo 3

Agora que temos o denominador fatorado, vamos expressar a fração original como uma soma de frações parciais. Ou seja, queremos encontrar constantes $ A $, $ B $ e $ C $ tais que:
A
Essa técnica de frações parciais nos permite quebrar a fração complicada em partes mais simples que são mais fáceis de integrar.

Passo 4

Para encontrar os valores de $ A $, $ B $ e $ C $, vamos eliminar os denominadores multiplicando ambos os lados por $ x(x+1)^2 $:
A
Agora, expandimos os termos do lado direito:
B
C
Agora, agrupamos os termos semelhantes:
x(x+1)^2
Agora, estabelecemos as equações comparando os coeficientes de cada termo:
  1. Para $ x^2 $: $ A + B = 3 $
  2. Para $ x $: $ 2A + B + C = 4 $
  3. Para o termo constante: $ A = 2 $
Já sabemos que $ A = 2 $. Substituindo na primeira equação:
3x^2 + 4x + 2 = A(x+1)^2 + Bx(x+1) + Cx
Agora, substituindo $ A = 2 $ e $ B = 1 $ na segunda equação:
3x^2 + 4x + 2 = A(x^2 + 2x + 1) + Bx(x + 1) + Cx
Então, temos:
3x^2 + 4x + 2 = A x^2 + 2A x + A + B x^2 + B x + Cx

Passo 5

Agora, substituímos os valores encontrados na expressão das frações parciais:
3 x^2+4 x+2x (x+1)^2 = 2x + 1x+1 + -1(x+1)^2
Simplificando:
3 x^2+4 x+2x (x+1)^2 = 2x + 1x+1 - 1(x+1)^2
Agora, podemos integrar cada termo separadamente.

Passo 6

Vamos integrar cada parte da expressão:
integral ( 2x + 1x+1 - 1(x+1)^2 ) dx
  1. integral 2x , dx = 2 ln|x|
  2. integral 1x+1 , dx = ln|x+1|
  3. integral -1(x+1)^2 , dx = 1x+1
Somando tudo:
2 ln|x| + ln|x+1| + 1x+1 + C

Resposta

A integral é igual a:
2 ln|x| + ln|x+1| + 1x+1 + C

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