Verifique se as seguintes funções são contínuas.
c)
c)
Passo 1
O enunciado pede para verificar a continuidade da função
Esse problema envolve o conceito de continuidade em pontos de uma função por partes, uso de um polinômio fatorado e cálculo de limites laterais.
Passo 2
Para simplificar a parte
x neq 2,3 , fatoramos o polinômio:
Logo, para
x neq 2,3 :
que é a função sinal de
(x-2)(x-3) .
Passo 3
Analisando o sinal de
(x-2)(x-3) :
- Se
, temosx<2 e(x-2)<0 , produto positivo, logo(x-3)<0 .f(x)=1 - Se
,2 e(x-2)>0 , produto negativo, logo(x-3)<0 .f(x)=-1 - Se
, ambos fatores são positivos, entãox>3 .f(x)=1
Portanto
Passo 4
Em cada intervalo aberto
(2,3) ,
(3,infty) e
f(x) ,
f é constante (1 ou –1). Funções constantes são contínuas, então
é contínua em todos esses pontos.
Passo 5
No ponto
x=2 , calculamos os limites laterais:
Como os limites laterais são diferentes,
limxto2f(x) não existe, logo há descontinuidade em
x=2 (mesmo que
f(2)=1 ).
Passo 6
No ponto
x=3 , os limites laterais são:
De novo os dois lados diferem, então
limxto3f(x) não existe. Assim, há descontinuidade em
x=3 (apesar de
f(3)=9 ).
Resposta
A função é contínua em todos os
x dos intervalos
(2,3) ,
(3,infty) e
x=2 , e apresenta descontinuidade em
x=3 e
.