Verifique se as seguintes funções são contínuas.
c) y=f(x)= |x^2-5 x+6|x^2-5 x+6 & x neq 2,3 1 & x=2 9 & x=3

Passo 1

O enunciado pede para verificar a continuidade da função
y = f(x) = lvert x^2 - 5x + 6rvertx^2 - 5x + 6, & x neq 2,3 1, & x = 2 9, & x = 3
Esse problema envolve o conceito de continuidade em pontos de uma função por partes, uso de um polinômio fatorado e cálculo de limites laterais.

Passo 2

Para simplificar a parte x neq 2,3, fatoramos o polinômio:
x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)
Logo, para x neq 2,3:
f(x) = lvert(x-2)(x-3)rvert(x-2)(x-3)
que é a função sinal de (x-2)(x-3).

Passo 3

Analisando o sinal de (x-2)(x-3):
  • Se x<2, temos (x-2)<0 e (x-3)<0, produto positivo, logo f(x)=1.
  • Se 2, (x-2)>0 e (x-3)<0, produto negativo, logo f(x)=-1.
  • Se x>3, ambos fatores são positivos, então f(x)=1.
    Portanto
f(x)=1,&x<2,-1,&23

Passo 4

Em cada intervalo aberto (2,3), (3,infty) e f(x), f é constante (1 ou –1). Funções constantes são contínuas, então é contínua em todos esses pontos.

Passo 5

No ponto x=2, calculamos os limites laterais:
limxto2^-f(x)=1,
limxto2^+f(x)=-1
Como os limites laterais são diferentes, limxto2f(x) não existe, logo há descontinuidade em x=2 (mesmo que f(2)=1).

Passo 6

No ponto x=3, os limites laterais são:
limxto3^-f(x)=-1,
limxto3^+f(x)=1
De novo os dois lados diferem, então limxto3f(x) não existe. Assim, há descontinuidade em x=3 (apesar de f(3)=9).

Resposta

A função é contínua em todos os x dos intervalos (2,3), (3,infty) e x=2, e apresenta descontinuidade em x=3 e .

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