Calcule o seguinte limite:
lim n +infty[n^3 times 3^n times n!n^n]

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
limnto+infty[n^3,3^n,n!n^n]
Este problema envolve comparação de fatores fatoriais e potenciais, então vamos usar a fórmula de Stirling para aproximar n! quando n é grande.

Passo 2

A fórmula de Stirling diz que, para n grande,
n! sim n^ne^-nraiz2pi n
Substituindo essa aproximação em n^3,3^n,n!n^n, obtemos
n^3,3^n,l(n^ne^-nraiz2pi nr)n^n = n^3,3^n,e^-n,raiz2pi n

Passo 3

Reescrevendo o resultado, fica
n^3,raiz2pi n,l(3e^-1r)^n = raiz2pi;n^3+tfrac12;l(3er)^n
Note que n^3+tfrac12=n^7/2 cresce apenas de forma polinomial, enquanto l(tfrac3er)^n cresce exponencialmente porque tfrac3e>1.

Passo 4

Como o termo exponencial l(tfrac3er)^n domina o polinomial n^7/2 e tende a +infty, o produto
raiz2pi;n^7/2;l(tfrac3er)^n
também tende a +infty.

Resposta

O limite diverge para +infty.
limnto+inftyn^3,3^n,n!n^n = +infty

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