Prove por definição que lim n +infty[1ln n]=0.

Passo 1

O enunciado pede para provar por definição que
limnto+infty1ln n=0.
Aqui temos a sequência an = 1/ln n e queremos mostrar, usando a definição epsilon–N de limite de sequência, que an pode ser feito arbitrariamente pequeno para n suficientemente grande.

Passo 2

A definição formal diz que limntoinftyan=0 se, para todo varepsilon>0, existe NinN tal que, para todo n>= N,
lvert an - 0rvert < varepsilon
No nosso caso isso vira
l|1/ln nr|<varepsilon

Passo 3

Como ln n>0 para n>=2, temos
1ln n<varepsilon Long<=ftrightarrow ln n>1varepsilon Long<=ftrightarrow n>exp!l(1/varepsilonr)

Passo 4

Basta então tomar
N = llceil e^1/varepsilonrrceil
Para todo n>= N vale n>= e^1/varepsilon, logo
ln n>=ln(e^1/varepsilon)=1/varepsilon
e portanto
1ln n<=varepsilon
Isso mostra que, para n>= N, lvert an-0rvert<varepsilon.

Resposta

limnto+infty1ln n=0.

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