Se
converge absolutamente, prove que
converge.
Passo 1
O enunciado diz que
converge absolutamente, ou seja,
converge. Como consequência, os termos
xn tendem a zero:
Vamos usar isso para comparar
l|xnr|^2 com
l|xnr| .
Passo 2
Como
xnto0 , existe um índice
N tal que para todo
n>= N temos
Então, para
n>= N ,
Passo 3
Escrevemos a série
sumn=1^inftyl|xnr|^2 como soma de duas partes:
A primeira soma é finita (soma de
N-1 termos). A segunda, pelo Passo 2, satisfaz
Como
sumn=1^inftyl|xnr| converge, seu “resto”
sumn=N^inftyl|xnr| também converge. Logo
ou seja,
sum xn^2 converge absolutamente.
Resposta
A série
sum xn^2 converge.