Se sum xn converge absolutamente, prove que sum xn^2 converge.

Passo 1

O enunciado diz que sum xn converge absolutamente, ou seja,
sumn=1^infty l|xnr|
converge. Como consequência, os termos xn tendem a zero:
xnto 0quando ntoinfty
Vamos usar isso para comparar l|xnr|^2 com l|xnr|.

Passo 2

Como xnto0, existe um índice N tal que para todo n>= N temos
l|xnr|<1
Então, para n>= N,
l|xnr|^2 ;=;l|xnr|cdotl|xnr| ;<=; l|xnr|cdot 1 ;=;l|xnr|

Passo 3

Escrevemos a série sumn=1^inftyl|xnr|^2 como soma de duas partes:
sumn=1^inftyl|xnr|^2 =sumn=1^N-1l|xnr|^2 +sumn=N^inftyl|xnr|^2
A primeira soma é finita (soma de N-1 termos). A segunda, pelo Passo 2, satisfaz
sumn=N^inftyl|xnr|^2 <= sumn=N^inftyl|xnr|
Como sumn=1^inftyl|xnr| converge, seu “resto” sumn=N^inftyl|xnr| também converge. Logo
sumn=1^inftyl|xnr|^2<infty,
ou seja, sum xn^2 converge absolutamente.

Resposta

A série sum xn^2 converge.

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