Verifique que se f é uma função periódica de periódo t, então também é periódica de período n t, n in Z.

Passo 1

O enunciado diz que f é periódica de período t, ou seja,
forall x, f(x+t)=f(x)
Queremos mostrar que, para qualquer ninZ, vale
f(x+nt)=f(x),
ou seja, f também é periódica de período nt.

Passo 2

Verificamos primeiro o caso trivial
n=0:
nesse caso x+0cdot t=x, logo
f(x+0cdot t)=f(x),
que é verdade.

Passo 3

Agora provamos para n>0 por indução em n.
Base ( n=1): já é a hipótese de periodicidade, pois
f(x+1cdot t)=f(x+t)=f(x)
Passo indutivo: suponha que para algum k>=1 valha
f(x+k,t)=f(x)
Então, usando a periodicidade de período t, temos
f(x+(k+1)t) =fl((x+k,t)+tr) =f(x+k,t) oversethipótese=f(x) ó
Isso completa a indução e mostra que
forall ninN, f(x+n,t)=f(x)

Passo 4

Falta o caso n<0. Seja n=-m com m>0. Já sabemos que
f(x+m,t)=f(x)
Agora observe que, aplicando essa igualdade ao ponto x':=x-n,t=x+m,t, obtemos
fl((x+m,t)+m,tr)=f(x+m,t),
isto é,
f(x+2m,t)=f(x+m,t)
Mas o que precisamos é
f(x+(-m),t)=f(x),
ou seja,
f(x-m,t)=f(x)
Basta então reescrever
x = l(x-m,tr)+m,t Longrightarrow f(x)=fl((x-m,t)+m,tr)=f(x-m,t),
usando a periodicidade de período m,t. Logo
f(x+(-m),t)=f(x),
como queríamos.

Resposta

Mostramos que, para todo ninZ, vale
f(x+nt)=f(x),
ou seja, f é periódica de período n,t.

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