Verifique que se
é uma função periódica de periódo
, então também é periódica de período
.
Passo 1
O enunciado diz que
é periódica de período
, ou seja,
Queremos mostrar que, para qualquer
, vale
ou seja,
também é periódica de período
.
Passo 2
Verificamos primeiro o caso trivial
nesse caso
, logo
que é verdade.
Passo 3
Agora provamos para
por indução em
.
Base (
): já é a hipótese de periodicidade, pois
Passo indutivo: suponha que para algum
valha
Então, usando a periodicidade de período
, temos
Isso completa a indução e mostra que
Passo 4
Falta o caso
. Seja
com
. Já sabemos que
Agora observe que, aplicando essa igualdade ao ponto
, obtemos
isto é,
Mas o que precisamos é
ou seja,
Basta então reescrever
usando a periodicidade de período
. Logo
como queríamos.
Resposta
Mostramos que, para todo
, vale
ou seja,
é periódica de período
.