Defina a sequência xn pondo x1=1 e xn+1^2=xn+1. Prove por indução que xn<2 e xn+1<xn. Conclua que a mesma é convergente e calcule seu limite.

Passo 1

O enunciado define a sequência xn por
x1 = 1, xn+1^2 = xn + 1
Queremos provar por indução que
  1. xn < 2 para todo n,
  2. xn+1 > xn (ou seja, a sequência é crescente).
    Com isso, xn será crescente e limitada superiormente, logo convergente. Por fim, encontraremos o limite L resolvendo L^2 = L + 1.

Passo 2

Base de indução ( n=1):
  • x1 = 1 < 2.
  • Calculamos x2^2 = x1 +1 = 2 Longrightarrow x2 = raiz2 Assim raiz2<2 e raiz2>1, logo x2<2 e x2>x1.

Passo 3

Passo indutivo: suponha que, para algum k>=1, valha
xk < 2 e xk > xk-1
Então:
(a) Como xk<2 segue xk+1<3, ou seja
xk+1^2 = xk+1 < 3 Longrightarrow xk+1<raiz3<2
(b) Como xk>xk-1 temos
xk+1^2 = xk+1 > xk-1+1 = xk^2,
logo xk+1^2 > xk^2 e, por positividade, xk+1>xk.
Isso completa a indução, mostrando que para todo n vale xn<2 e xn+1>xn.

Passo 4

Concluímos que xn é crescente e limitada superiormente por 2. Pelo Teorema da Convergência de sequências monotônicas, ela converge.

Passo 5

Seja
L = limntoinfty xn
Fazendo ntoinfty na relação xn+1^2 = xn+1, obtemos
L^2 = L + 1
As soluções dessa equação são tfrac1pmraiz52, mas como xn>0 escolhemos
L = 1+raiz52

Resposta

limntoinfty xn = 1+raiz52

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