Defina a sequência
pondo
e
. Prove por indução que
e
. Conclua que a mesma é convergente e calcule seu limite.
Passo 1
O enunciado define a sequência
por
Queremos provar por indução que
-
para todo , -
(ou seja, a sequência é crescente).
Com isso,será crescente e limitada superiormente, logo convergente. Por fim, encontraremos o limite resolvendo .
Passo 2
Base de indução (
):
-
. - Calculamos
Assim e , logo e .
Passo 3
Passo indutivo: suponha que, para algum
, valha
Então:
(a) Como segue
, ou seja
(a) Como
(b) Como
temos
logo
e, por positividade,
.
Isso completa a indução, mostrando que para todo
vale
e
.
Passo 4
Concluímos que
é crescente e limitada superiormente por
. Pelo Teorema da Convergência de sequências monotônicas, ela converge.
Passo 5
Seja
Fazendo
na relação
, obtemos
As soluções dessa equação são
, mas como
escolhemos